数学 対称式

質問

x^3＋y^3＋z^3を
x＋y＋z
xy＋yz＋zx
xyz
で表すには
x^3＋y^3＋z^3－3xyz＝(x＋y＋z)(x^2＋y^2＋z^2－xy－yz－zx)
とわかるのですが

なぜこのように
因数分解出来るのですか？

このように因数分解する
『過程』を
面倒ですが、
教えていただきたいです。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

方程式の考え方を使うと早い。

x＋y＋z＝m、xy＋yz＋zx＝n、xyz＝k とすると、xとyとzは　t＾3-mt＾2+nt-k＝0の3つの解。
t＾3＝mt＾2-nt＋k　より、x＾3＝mx＾2-nx＋k であり、これは　yとz　についても成立する。
よって、x＾3＋y＾3＋z＾3＝m(x＾2＋y＾2＋z＾2)-n(x＋y＋z)＋3k となる。
つまり、x＾3＋y＾3＋z＾3-3k＝、x＾3＋y＾3＋z＾3-3xyz＝m(x＾2＋y＾2＋z＾2)-n(x＋y＋z)＝(x＋y＋z)*(x＾2＋y＾2＋z＾2)-n(x＋y＋z)。
以下、自明。

お礼

ありがとうございます!
とても詳しくて理解することが出来ました!

回答No.1

tomokoich

x^3+y^3の部分=(x+y)^3-3xy(x+y)より
[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3を適用]
x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz
２項目と４項目をまとめる
=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)
ここで(x+y)^3+z^3=(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}より
=(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-zx-yz+z^2-3xy)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。