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数学 対称式
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- mister_moonlight
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方程式の考え方を使うと早い。 x＋y＋z＝m、xy＋yz＋zx＝n、xyz＝k とすると、xとyとzは t＾3-mt＾2+nt-k＝0の3つの解。 t＾3＝mt＾2-nt＋k より、x＾3＝mx＾2-nx＋k であり、これは yとz についても成立する。 よって、x＾3＋y＾3＋z＾3＝m(x＾2＋y＾2＋z＾2)-n(x＋y＋z)＋3k となる。 つまり、x＾3＋y＾3＋z＾3-3k＝、x＾3＋y＾3＋z＾3-3xyz＝m(x＾2＋y＾2＋z＾2)-n(x＋y＋z)＝(x＋y＋z)*(x＾2＋y＾2＋z＾2)-n(x＋y＋z)。 以下、自明。
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- tomokoich
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x^3+y^3の部分=(x+y)^3-3xy(x+y)より [(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3を適用] x^3+y^3+z^3-3xyz =(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz ２項目と４項目をまとめる =(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z) ここで(x+y)^3+z^3=(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}より =(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}-3xy(x+y+z) =(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-zx-yz+z^2-3xy) =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
質問者からのお礼
ご回答ありがとうございます。 参考にさせていただきます。
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質問者からのお礼
ありがとうございます! とても詳しくて理解することが出来ました!