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数学 対称式

x^3+y^3+z^3を x+y+z xy+yz+zx xyz で表すには x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) とわかるのですが なぜこのように 因数分解出来るのですか? このように因数分解する 『過程』を 面倒ですが、 教えていただきたいです。

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回答No.2

方程式の考え方を使うと早い。 x+y+z=m、xy+yz+zx=n、xyz=k とすると、xとyとzは t^3-mt^2+nt-k=0の3つの解。 t^3=mt^2-nt+k より、x^3=mx^2-nx+k であり、これは yとz についても成立する。 よって、x^3+y^3+z^3=m(x^2+y^2+z^2)-n(x+y+z)+3k となる。 つまり、x^3+y^3+z^3-3k=、x^3+y^3+z^3-3xyz=m(x^2+y^2+z^2)-n(x+y+z)=(x+y+z)*(x^2+y^2+z^2)-n(x+y+z)。 以下、自明。

v93ct0ry
質問者

お礼

ありがとうございます! とても詳しくて理解することが出来ました!

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その他の回答 (1)

  • tomokoich
  • ベストアンサー率51% (538/1043)
回答No.1

x^3+y^3の部分=(x+y)^3-3xy(x+y)より [(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3を適用] x^3+y^3+z^3-3xyz =(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz 2項目と4項目をまとめる =(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z) ここで(x+y)^3+z^3=(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}より =(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}-3xy(x+y+z) =(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-zx-yz+z^2-3xy) =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

v93ct0ry
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。 参考にさせていただきます。

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