3変数4次式の絶対不等式

質問

x=b^2+bc+c^2, y=c^2+ca+a^2, z=a^2+ab+b^2 のとき，

1≦(x^2+y^2+z^2)/(yz+zx+xy)≦2

(ただし，a,b,c は実数で，abc≠0 とする． )

を証明したいのですが。

回答No.1

quift · ベストアンサー

x=b^2+bc+c^2は、余弦定理より
bとcの間の角が120°の三角形の、残りの辺の長さの２乗ですね。
root(x)なら辺の長さです。
yやzについても同様です。

平面上にx軸とy軸の２本を直交させると座標平面ができますが、
同じようにa軸とb軸とc軸の３本を120°ずつずらして
一点で交わるように書いてみてください。（上の図）
a軸上にaの値を、b軸上にbの値を、c軸上にcの値をとると
それらを結んで三角形（一つの角度が180°になるとただの線分になりますが）
ができますね？
辺bcの長さがroot(x)
辺caの長さがroot(y)
辺abの長さがroot(z)
に一致します。

三角形の辺の長さの間には、
(一辺)＜(他の二辺の長さの和)
という関係が成り立ちます。
この問題の場合は一つの角が180°になってもいいので
(一辺)≦(他の二辺の長さの和)
つまり
root(z)≦root(x)+root(y)
root(x)≦root(y)+root(z)
root(y)≦root(z)+root(x)
です。

この３つの不等式によって表される領域を
root(x)軸、root(y)軸、root(z)軸によって張られる空間上に
表すと左下の図、
x軸，y軸，z軸で表すと右下の図のようになります。
ただし、分かりやすいように
x^2+y^2+z^2=1（つまり(x,y,z)は単位球面上にある）
としています。
勿論一般には=1にはなりませんが、
その場合はx,y,zを同じ数で割って調整すればいいです。

さて、証明したい式の分子は
x^2+y^2+z^2
ですが、これは空間ベクトル（x,y,z）の絶対値ですね。
上で仮定したようにこれは1です。
分母
yz+zx+xy
は(x,y,z)と(y,z,x)の内積です。
この時点で分子と同じか、より小さいと分かりますね。
内積が最大値を取るのは２つのベクトルが一致した時、つまり(x,y,z)=(y,z,x)
の時で、この時分母＝分子です。
次に内積が最小値を取る場合ですが、これは下の図の右側で言えば
(x,y,z)が領域の頂点に来る場合です。
この時(y,z,x)は別の頂点に来ます。
右下の図の領域を底面、原点を頂点とする三角錐は正四面体になるので
間の角は60°となり、内積をとるとcos60°=1/2倍になります。
このとき
分母=分子×1/2
なので右の不等式が成立します。
ただし、多分写し間違いだと思いますが等号は成立しません。
abc≠0ならxyz≠0になるから、領域の頂点は白丸です。

お礼

ありがとうございます。

ベクトル（x,y,z）の終点が、半径1の球面におけるある三角形内を動くと考えると、
(y,z,x)は直線x=y=zを軸として120度回転したものと考られ、
yz+zx+xyはそれらの2つのベクトルの内積と考えられるということですね。

びっくりする解法ですね。すごいです。

回答No.4

muturajcp

abc≠0だから
x=(b+c/2)^2+3c^2/4>0
y=(c+a/2)^2+3a^2/4>0
z=(a+b/2)^2+3b^2/4>0
0<yz+zx+xy

x^2+y^2+z^2-(yz+zx+xy)
={(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2}/2≧0
↓
0<yz+zx+xy≦x^2+y^2+z^2
↓
1≦(x^2+y^2+z^2)/(yz+zx+xy)

2(yz+zx+xy)-(x^2+y^2+z^2)
=2{(c^2+ca+a^2)(a^2+ab+b^2)+(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)+(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}
-(b^2+bc+c^2)^2-(c^2+ca+a^2)^2-(a^2+ab+b^2)^2
=3b^2c^2+3c^2a^2+3a^2b^2+6bca^2+6acb^2+6abc^2
=3(bc+ca+ab)^2≧0
↓
0<x^2+y^2+z^2≦2(yz+zx+xy)
↓
(x^2+y^2+z^2)/(yz+zx+xy)≦2

お礼

ありがとうございます。

すごい計算力ですね。

回答No.3

quift

#1です。
#2の図の上部の曲線部分なら、黒丸だけでなく
どこを（x,y,z）としても内積は1/2になるようです。
z=1/4;
root(x)+root(y)=1/2
より
曲線上の点は
(x,x-root(x)+1/4,1/4)
と表せるので
(x,y,z)・(y,z,x)が計算できます。
これが
|(x,y,z)|^2の1/2になります。

お礼

すばらしい解法をありがとうございました。

回答No.2

quift

＃１です。
右下の図が間違っていたので
書き直しました。
＝２が成立するのは
新しい図の黒丸の部分ですね
このときx:y:z=1:1:4になります。
代入すると、たしかに
18/9=2
になっていますね。
そちらの写し間違いではありませんでした

お礼

すばらしい解法をありがとうございました。