不等式の証明(やや発展)

質問

お世話になっております。

a,b,cは実数、a+b+c=0であるとき、不等式 (|a|+|b|+|c|)^2≧2(a^2+b^2+c^2) を証明せよ。また、等号が成立つときはどのようなときか。

という証明問題について質問です。証明自体はそれほど難しくは無いのかな、と思ってますが…。

a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=0-2(ab+bc+ac)と出来ますから、
左辺-右辺=-{(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca}+2(|ab|+|bc|+|ca|)=2{(|ab|+ab)+(|bc|+bc)+(|ca|+ca)}…(1)
常に、|ab|≧-abであるから、|ab|+ab≧0、(bc、caについても同様)であるから、(1)≧0。与えられた不等式は成立つ。

ここで質問。等号成立条件が分かりません。不等式の証明より、|ab|=-ab(bc、caも同様)が成立つ時だと思うのですが略解によると、
a、b、cの少なくとも一つが0であるときなのだそうです。何故でしょう…。
　a,b,cのうち少なくとも一つが0 ちゅうことは、a=0またはb=0またはc=0　ということになろうかと思います。ということは、更にabc=0 という式も言えるハズです。しかし、当方の不等式の証明の仕方が不適切なのか、abc=0　を導く根拠が見当たりません。

回答No.1

noname#185374 · ベストアンサー

等号が成り立つときは
|ab| = -ab, __(1)
|bc| = -bc, __(2)
|ca| = -ca. __(3)
辺々乗じて
(abc)^2 = - (abc)^2.
よって
abc = 0．
仮に a = 0 とすると，(1)と(3)は成り立つ．また，与えられた条件
a + b + c = 0
より
b + c = 0,
c = -b.
よって(2)は
|-b^2| = b^2
となって成り立つ．
b = 0 や c = 0 の場合も同様．

お礼

ご回答ありがとうございました。
(1)(2)(3)はわかりました。(1)(2)(3)の辺々掛けたとき、
左辺の掛合わせ=|ab|・|bc|・|ca|=|abc|^2=(abc)^2=-(abc)^2=右辺の掛合わせ
というのに気付けませんでした。正の数に関する等式・不等式が複数同時に成立つときには辺々掛合わせることも常に念頭に入れとかないといけないですね。

流石でした。