証明

質問

a,b,cは正の数でa＋b＋c=1のとき、次の不等式が成り立つことを証明する問題です。
また、等号が成り立つのはどのようなときか。
{2＋(1/a)}*{2＋(1/b)}*{2＋(1/c)}≧125

{2＋(1/a)}*{2＋(1/b)}*{2＋(1/c)}
=8＋4*{(1/a)＋(1/b)＋(1/c)}＋2{(1/ab)＋(1/bc)＋(1/ca)}＋(1/abc)
=8＋4*{(1/a)＋(1/b)＋(1/c)}＋2*{(a＋b＋c)/abc}＋(1/abc)
=8＋4*{(1/a)＋(1/b)＋(1/c)}＋{3/abc}
からどのように求めるか分かりません。
教えてください。

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

(1/a+1/b+1/c)/3≧1/(abc)^(1/3)
は、
(1/a+1/b+1/c)/3≧(1/abc)^(1/3)
で、要するに、1/a,1/b,1/cの３数に関する相加相乗平均の関係を
使っていることになります。

A=1/a,B=1/b,C=1/cと思えば、等号条件はA=B=C、すなわち、
1/a=1/b=1/cです。

1/a=1/bから両辺の逆数をとって、a=b
1/b=1/cから両辺の逆数をとって、b=c
よって、a=b=cです。
a+b+c=1なので、b=a,c=aとすれば、a+a+a=1,3a=1,a=1/3
同じく、b+b+b=1より、b=1/3
c+c+c=1より、c=1/3

実に簡単なことなので、もう少し自然に考えてください。
貴方への回答は実に忍耐が要りますね・・・

補足

zk43さんごめんなさい。
疲れさせてしまいましてごめんなさい。
スッキリしました。
理解できました。
皆さんありがとうございました。

回答No.3

take_5

a＞0、b＞0、c＞0より相加平均・相乗平均を使う。

a＋b＋c≧3(3)√(abc)‥‥(1)、1/a＋1/b＋1/c≧3(3)√1/(abc)‥‥(2)
(1)と(2)を掛けると　a＋b＋c＝1であるから　(1/a＋1/b＋1/c)≧9　‥‥(3).
a＋b＋c≧3(3)√(abc)であるから、a＋b＋c＝1より　1/(abc)≧27‥‥(4)　但し、(1)と(2)と(3)も全て等号はa＝b＝c＝1/3のとき。

以上より
8＋4*{(1/a)＋(1/b)＋(1/c)}＋{3/abc}≧8＋4*9＋3*27＝125.

補足

ご連絡が遅くなってすいません。
、(1)と(2)と(3)も全て等号はa＝b＝c＝1/3のとき。
について教えてください。
a=b=C=1/3になるのですか？

回答No.2

zk43

以下、aの立方根をa^(1/3)で表わす。
（分数乗の計算は習ったでしょうか）

相加平均≧相乗平均の式、
(a+b+c)/3≧(abc)^(1/3)…(1)
で、a,b,cの代わりに1/a,1/b,1/cとしてみます。
(1/a+1/b+1/c)/3≧1/(abc)^(1/3)
1/a+1/b+1/c≧3/(abc)^(1/3)…(2)
等号条件は1/a=1/b=1/c、すなわち、a=b=cのままです。
また、(1)の逆数を考えて、
1/(abc)^(1/3)≧3/(a+b+c)=3/1=3…(3)
となるので、(2)から、
1/a+1/b+1/c≧3×3＝9…A

また、(3)の３乗を考えて、
1/abc≧27…B

よって、A、Bにより、
{2＋(1/a)}*{2＋(1/b)}*{2＋(1/c)}
=8＋4*{(1/a)＋(1/b)＋(1/c)}＋{3/abc}
≧8＋4*9＋3*27
=8＋36＋81
=125

等号条件は、A、Bは(1)(2)から出ているので、a=b=c、すなわち、
a=b=c=1/3です。
（文字はどれを入れ替えても同じ（文字に関して対称）なので、
このことは容易に想像できます。）

調和平均というものをご存じでしょうか。
a,b,cの調和平均とは、1/{(1/a+1/b+1/c)/3}のことです。
（各数の逆数の平均の逆数）
これに関して、
相加平均≧相乗平均≧調和平均
が成り立ち、等号条件はa=b=cです。
相加平均≧相乗平均の式で、文字を逆数にしてみれば、すぐわかりま
す。

上の解答は、このことを念頭においています。

補足

1/a=1/b=1/c、すなわち、a=b=cが分かりません。
公式よりa=b=cは理解できたのですが、1/a=1/b=1/cが分かりません

回答No.1

miniture_min

相加相乗平均を使ってください。a+b+c>=3(abc)^(1/3)

これによって、
(1/a)＋(1/b)＋(1/c)>=9
1/abc>=27
となるので、8+4・9+27・3=125です。