a≧1、b≧1、c≧1のとき次の不等式が成り立つことを示せ。

質問

(a^3-1/a^3)+(b^3-1/b^3)+(c^3-1/c^3)≧3(abc-1/abc)

(左辺)-(右辺)＝Pとおく。
P=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
-(1/a+1/b+1/c)(1/a^2+1/b^2+1/c^2-1/ab-1/bc-1/ca)
a≧1、b≧1、c≧1であるから、
a+b+c≧3≧1/a+1/b+1/c＞0・・・(1)
(1)により(a^2-1/a^2)+(b^2-1/b^2)≧2(ab-1/ab)
(b^2-1/b^2)+(c^2-1/c^2)≧2(bc-1/bc)
(c^2-1/c^2)+(a^2-1/a^2)≧2(ca-1/ca)
辺々を加えて、両辺を2で割ると
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧1/a^2+1/b^2+1/c^2-1/ab-1/bc-1/ca
=1/2{(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2}
　　　　　　　　　　 ≧0・・・(2)
(1)、(2)によりP≧0
したがって、与えられた不等式は成り立つ。
等号はa=b=cのとき成り立つ。

>(1)、(2)によりP≧0
自分にはこれでは分かりづらいです。
具体的に数字決めて確かめては見たのですが、何かスッキリしません。
もう少し分かりやすく説明して頂けると幸いです。

>等号はa=b=cのとき成り立つ。
これはどこから導けばいいのでしょうか？

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

解答の骨格になるのは、このようなことだと思います。
ｍ≧ｎ＞０ かつ Ｍ≧Ｎ＞０ が成り立つとき、
ｍ×Ｍ ≧ ｎ×Ｎ

Ｐ＝（左辺）－（右辺）について、
Ｐ＝ｍ×Ｍ－ｎ×Ｎというように見ているのだと思います。

ただ途中の経緯を見ていると、少し変な気もします。

＞(1)により(a^2-1/a^2)+(b^2-1/b^2)≧2(ab-1/ab)
a+b≧1/a+1/b からは、(a^2-1/a^2)+(b^2-1/b^2)≧2(1/ab-ab)となります。
上の不等式は、(a-b)^2－(1/a-1/b)^2の引き算で通分をして a≧1, b≧1を用いれば示すことができます。

＞a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧1/a^2+1/b^2+1/c^2-1/ab-1/bc-1/ca
=1/2{(1/a-1/b)^2+(1/b-1/c)^2+(1/c-1/a)^2}≧0・・・(2)
（左辺）－（右辺）が０以上ならわかるのですが、右辺だけが０以上というのもおかしい気がします。

勘違いがあるかもしれませんが、書かせてもらいました。

回答No.1

sakuraitarou

２乗したら中の値はマイナスだろうがプラスだろうが、関係なくプラスになるでしょ？
よくある証明方法だよ。