- ベストアンサー
不等式の証明
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
1)相加平均と相乗平均の関係使いたいとき 約分できるように koko_u_さんの回答のように a+1を作る (a=a+1 -1を使う) 2)相加平均と相乗平均の関係は不要な方法 不等式の証明の基本 左辺-右辺>=0を証明 そのとき X**2>=0 X;実数を使う 3)強引な方法 左辺をaの関数とみて微分して最小値を求める 以上くらいかな.
その他の回答 (1)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
不等式に a しか出てこないんですが。。。 それはさて置き、両辺に 1 足すだけです。
関連するQ&A
- 相加相乗平均を使った不等式の証明
a,b,c,d≧0、のとき (a+b+c+d)/4≧4√abcd ←(4√は4乗根です) 等号はa=b=c=dのとき の証明で、相加相乗平均を使うと思うんですが、どぅやって使えばいいのかわかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相加・相乗平均を使う不等式
相加相乗平均を使う不等式の問題で分からないものがあります。 a,b,c,dは全て正の数として *(a+2/b)(2b+1/a)≧9 を証明する問題では、左辺を展開した後に相加相乗平均を使って証明をしてますよね。 ですが *(a+2b)(2c+d)≧8√abcd のときには a+2b≧2√2ab 2c+d≧2√2cd を証明して二つをかけ合わせますよね? このとき方の違いはどうしてでしょうか? 上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学II (相加平均)と(相乗平均)の関係を使って、不等式を証明する問
数学II (相加平均)と(相乗平均)の関係を使って、不等式を証明する問題です。 解説を読んだのですが理解できないので教えてください。 (b/a+d/c)( a/b+c/d)≧4 (解説) (1)(b/a+d/c)( a/b+c/d)=2+bc/ad+ad/bc (相加平均)≧(相乗平均)の関係の関係から (2)bc/ad+ad/bc≧2√bc/ad×ad/bc=2 (3)∴bc/ad+ad/bc+2≧2+2=4 両辺に同じ数を加えても、大小の関係は変わらない。 (4)したがって、(b/a+d/c)( a/b+c/d)≧4 とあり、(1)の式は導くことができたのですが、(2)式への導き方が分かりません。 相加平均と相乗平均(a+b/2≧√ab)についての基礎は理解しているつもりです。 できましたら、詳しい式とあわせて言葉での解説があるととても助かります。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相加・相乗平均の関係の問題
次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。 a、b、c、dが正の数のとき (a/b+c/d)(b/a+d/c)≧4 (自分の解答) a、b、c、dが正の数なのでa/b+c/d>0、b/a+d/c>0 相加、相乗平均の関係より (a/b+c/d)+(b/a+d/c)≧4√(a/b+c/d)・(b/a+d/c)=4 が成り立つ。 等号が成り立つのはa/b+c/d=b/a+d/cすなわち…… 自分なりに問いてみましたが、分からず詰まってしまいました。 お時間のある方、お手伝いよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の成立条件の証明
以下,問題文です。 任意の実数a,bと任意の正の実数c,dについて,次の不等式(添付画像)が常に成立するなら証明せよ。必ずしも成立しないなら成立しないようなa,b,c,dの値を例示せよ。 皆目見当がつかず,滞っています。 不等式であるとはいえ相加・相乗平均のような 特徴的な解法が存在するのかも不明です。 どなたか解法の動機をご教授頂きたいと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
a,b,c,dはabcd=1,を満たす正の実数のとき、 (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)>=25/4 を示せ。 試したのは、(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)に対して相加相乗平均を使って、4以上 ただし、9/(a+b+c+d)の処理がうまくいかない。 a+b=x,c+d=yとおいて、相加相乗をもちいると (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)=(a+b)/ab+(c+d)/cd+9/(a+b+c+d) >=4/x+4/y+9/(x+y) これが25/4以上を示せばよいと思ったが、進まず。 コーシーシュワルツを使って、何かできないかとも考えてみたが、何を目標に 変形を考えて良いのか、・・・・ いずれにしても、 9/(a+b+c+d)をどう考えるかが、ポイントになるのでないかと 思うのであるが、・・・ アドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
a>0,b>0,c>0,abc=8のとき、次の不等式を示せ。 a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+b^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}+c^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}>=4/3 考えたこと。 (1)相加相乗平均を使うと、9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)を示せばよいとなるが、 abc=8から、いくらでもa,b,cの値は大きくなるので、うまくいかない。 (2)左辺の第一項a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}をa^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}>=4△/3(△+○+☆)の形にできないか。第二項、第三項も同様にして、3つの式を加えて 左辺>=4(△+○+☆)/3(△+○+☆)=4/3。とできないかと考えたが、挫折。 よろしく、アドバイスお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数