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至急お願いします！！

問題　a,b,cを実数とするとき、次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つのはどんな時か。 （1）a*2+b*2+c*2≧ab+bc+ca これが、成り立つのはわかりました。 （2）a*4+b*4+c*4≧abc(a+b+c)の証明で、解答が （1）を利用して、 　　a*4+b*4+c*4≧a*2b*2+b*2c*2+c*2a*2=(ab)*2+(bc)*2+(ca)*2 ≧(ab)・(bc)+(bc)・(ca)+(ca)・(ab)=abc(a+b+c) となってるんですが・・・いまいち式の変形が理解できません。　特に、最後の一行への変形が・・・・・・ *2は、二乗。*4は、四乗の意味です。 教えてください・・・・・お願いします。

みんなの回答

回答No.3

（１）が成り立つのがわかったら、 Ａ^2＋Ｂ^2＋Ｃ^2≧ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ　に　Ａ＝ａ^2、Ｂ＝ｂ^2、Ｃ＝ｃ^2　を代入して、 (ａ^2)^2＋(ｂ^2)^2＋(ｃ^2)^2≧(ａ^2)(ｂ^2)＋(ｂ^2)(ｃ^2)＋(ｃ^2)(ａ^2)＝(ａｂ)^2＋(ｂｃ)^2＋(ｃａ)^2 で、 また、Ｄ＝ａｂ、Ｅ＝ｂｃ、Ｆ＝ｃａ　と置いて、（１）を利用すると、 Ｄ^2＋Ｅ^2＋Ｆ^2≧ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤ　だから (ａｂ)^2＋(ｂｃ)^2＋(ｃａ)^2≧(ａｂ)(ｂｃ)＋(ｂｃ)(ｃａ)＋(ｃａ)(ａｂ)＝ａｂｃ(ａ＋ｂ＋ｃ) よって、ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4≧ａｂｃ(ａ＋ｂ＋ｃ)　です。

  • abyss-sym
  • ベストアンサー率40% (77/190)
回答No.2

a*2=A,b*2=B,c*2=C として a*4+b*4+c*4 = A*2+B*2+C*2 とすると (1)より, a*4+b*4+c*4≧AB+BC+CA=a*2b*2+b*2c*2+c*2a*2=(ab)*2+(bc)*2+(ca)*2 となります。 ここで,ab=P,bc=Q,ca=R として (ab)*2+(bc)*2+(ca)*2=P*2+Q*2+R*2 (1)を使って P*2+Q*2+R*2≧PQ+QR+RP=(ab)・(bc)+(bc)・(ca)+(ca)・(ab)=abc(a+b+c) したがって,a*4+b*4+c*4≧abc(a+b+c)

  • ka1234
  • ベストアンサー率51% (42/82)
回答No.1

こんにちは。 (1)A^2+B^2+C^2≧AB+BC+CA（等号成立はA＝B＝Cの時） を、２回繰り返し使います。 (2)　a^4+b^4+c^4 ＝(a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2として、(1)の公式を使うと(a^2＝A）、 ≧(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2) （等号成立はa^2=b^2=c^2）・・・[1] ＝(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2として、(1)の公式を使うと(ab＝A）、 ≧(ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)(ab) （等号成立はab=bc=caの時）・・・[2] ＝abc(a+b+c)（証明終わり） 等号成立は、[1][2]より、a＝b＝cの時 （[2]だけではなく、[1]の成立も必要です）

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