対数の証明問題、回答できず困っています。

質問

a.b.cは正の数で以下の等式が成り立つとき、a.b.cのうち少なくとも２つは等しいことを証明せよ。

a^bc=b^ac=c^ab

以上の問題です。
あと、見にくい場合はpngファイルで問題をプリントスクリーンしたので、拡張子の変え方教えていただければいつでもＵＰできます。

お手数ですが、回答お願いします。
特に、背理法によって証明するのか、それとも、２つ等しいことを証明するのか、また、証明のポイントなど教えていただきたく思います。

回答No.4

shuu_01

No.2 です

No.3 さんの回答、理解できないです

＞　a=0またはb=0またはc＝0のときは不成立
＞　よってa≠0，b≠0，c≠0のときを考える

　問題文で　a、b、c は正の数　と言ってるので
　確かに 0 でありません

＞　b^(a b c^2)=c^(a (b^2) c)=c^(ab) ・ c^(bc)=b^(ac) ・ c^(bc)

b^ac に b^bc を掛けた式
c^ab に c^bc を掛けた式
b^ac に c^bc を掛けた式

がなんで等しくなるのですか？

＞　よってb＾（bc）＝c＾（bc）

どこからこの等式が出て来たのですか？

＞　対数をとって
＞　bclog(b/c)=0　⇔　b＝c
＞　よって少なくとも２つは等しい。

というか、元々の式は a、b、c のどれを入れ替えても同じ式になる式です

b ＝ c　と言えたら、a ＝ b ＝ c と言えちゃいませんか？

回答No.3

noname2727

a=0またはb=0またはc＝0のときは不成立

よってa≠0，b≠0，c≠0のときを考える

b^(a b c^2)=c^(a (b^2) c)=c^(ab) ・ c^(bc)=b^(ac) ・ c^(bc)

よってb＾（bc）＝c＾（bc）

対数をとって

bclog(b/c)=0　⇔　b＝c

よって少なくとも２つは等しい。

お礼

ありがとうございます。
解答通り、証明はわかりました。
ちなみに、b^bc を両辺に乗じることに気付けないかも
と思うのですが、何かヒントありましたらお願いします。

回答No.2

shuu_01

「こんな問題簡単だよ」 という数学力は僕にありません

学校を卒業し、何年もたっており、数学ほとんど忘れてます

卓球だと数年、現役を離れると毎日 数km ランニングを続けてないと、現役復帰は難しい。受験勉強で２－３ヶ月 練習しなかった中学生は小学生にも勝てなくなり、、、、数学も似たようなものかと思います

と、いつもの言い訳が長くなりましたが、まだ回答がないので、回答しときます

a^bc=b^ac=c^ab

の自然対数をとります

bc log a ＝ ac log b ＝ ab log c

a、b、c はいずれも正の数で ゼロでないので、abc で割ります

log a　　 log b　　 log c
―― ＝ ―― ＝ ――
　a　　　　　b　　　　　ｃ

となります

　　　　　　　　　log x　
そこで、y ＝ ―――
　　　　　　　　　　x

のグラフを描いてみます

y' ＝ ｛(1/x) x - log x ・1 ｝/ x^2 ＝ （1 －log x） / x^2

ですので、x ＝ e の時、最大値 1 をとり、
0 に近い時はマイナス、
無限大に大きくなると次第に ゼロに近づくグラフです

ということは、

y ≦ 0 あるいは y ＝ 1 の時、

　　　　　log x　
　y ＝ ―――　を満たす x は １通りしかありません
　　　　　　x

　ですので、a ＝ b ＝ c となります

0 ＜ y ＜ 1 あるいは y ＞ 1 の時

　　　　　log x　
　y ＝ ―――　を満たす x は ２通りしかありません
　　　　　　x

すなわち、３通りはないので、a、b、c の少なくとも
２つは等しいことになります

回答No.1

asuncion

＞a^bc

これはどう解釈すればいいのでしょうか。
「aのbc乗」？
「a^b乗 かける c」？

補足

aのbc乗です。
よろしくお願いします。