• 締切済み

対数の証明問題、回答できず困っています。

a.b.cは正の数で以下の等式が成り立つとき、a.b.cのうち少なくとも２つは等しいことを証明せよ。 a^bc=b^ac=c^ab 以上の問題です。 あと、見にくい場合はpngファイルで問題をプリントスクリーンしたので、拡張子の変え方教えていただければいつでもＵＰできます。 お手数ですが、回答お願いします。 特に、背理法によって証明するのか、それとも、２つ等しいことを証明するのか、また、証明のポイントなど教えていただきたく思います。

みんなの回答

  • shuu_01
  • ベストアンサー率55% (760/1366)
回答No.4

No.2 です No.3 さんの回答、理解できないです ＞　a=0またはb=0またはc＝0のときは不成立 ＞　よってa≠0，b≠0，c≠0のときを考える 　問題文で　a、b、c は正の数　と言ってるので 　確かに 0 でありません ＞　b^(a b c^2)=c^(a (b^2) c)=c^(ab) ・ c^(bc)=b^(ac) ・ c^(bc) b^ac に b^bc を掛けた式 c^ab に c^bc を掛けた式 b^ac に c^bc を掛けた式 がなんで等しくなるのですか？ ＞　よってb＾（bc）＝c＾（bc） どこからこの等式が出て来たのですか？ ＞　対数をとって ＞　bclog(b/c)=0　⇔　b＝c ＞　よって少なくとも２つは等しい。 というか、元々の式は a、b、c のどれを入れ替えても同じ式になる式です b ＝ c　と言えたら、a ＝ b ＝ c と言えちゃいませんか？

回答No.3

a=0またはb=0またはc＝0のときは不成立 よってa≠0，b≠0，c≠0のときを考える b^(a b c^2)=c^(a (b^2) c)=c^(ab) ・ c^(bc)=b^(ac) ・ c^(bc) よってb＾（bc）＝c＾（bc） 対数をとって bclog(b/c)=0　⇔　b＝c よって少なくとも２つは等しい。

zyunyu
質問者

お礼

ありがとうございます。 解答通り、証明はわかりました。 ちなみに、b^bc を両辺に乗じることに気付けないかも と思うのですが、何かヒントありましたらお願いします。

  • shuu_01
  • ベストアンサー率55% (760/1366)
回答No.2

「こんな問題簡単だよ」 という数学力は僕にありません 学校を卒業し、何年もたっており、数学ほとんど忘れてます 卓球だと数年、現役を離れると毎日 数km ランニングを続けてないと、現役復帰は難しい。受験勉強で２－３ヶ月 練習しなかった中学生は小学生にも勝てなくなり、、、、数学も似たようなものかと思います と、いつもの言い訳が長くなりましたが、まだ回答がないので、回答しときます a^bc=b^ac=c^ab の自然対数をとります bc log a ＝ ac log b ＝ ab log c a、b、c はいずれも正の数で ゼロでないので、abc で割ります log a　　 log b　　 log c ―― ＝ ―― ＝ ―― 　a　　　　　b　　　　　ｃ となります 　　　　　　　　　log x　 そこで、y ＝ ――― 　　　　　　　　　　x のグラフを描いてみます y' ＝ ｛(1/x) x - log x ・1 ｝/ x^2 ＝ （1 －log x） / x^2 ですので、x ＝ e の時、最大値 1 をとり、 0 に近い時はマイナス、 無限大に大きくなると次第に ゼロに近づくグラフです ということは、 y ≦ 0 あるいは y ＝ 1 の時、 　　　　　log x　 　y ＝ ―――　を満たす x は １通りしかありません 　　　　　　x 　ですので、a ＝ b ＝ c となります 0 ＜ y ＜ 1 あるいは y ＞ 1 の時 　　　　　log x　 　y ＝ ―――　を満たす x は ２通りしかありません 　　　　　　x すなわち、３通りはないので、a、b、c の少なくとも ２つは等しいことになります

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  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6288)
回答No.1

＞a^bc これはどう解釈すればいいのでしょうか。 「aのbc乗」？ 「a^b乗 かける c」？

zyunyu
質問者

補足

aのbc乗です。 よろしくお願いします。

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