三角形in三角形 証明

質問

三角形ABCの内部に三角形A'B'C'があるときの次の証明がしたいです。

AB+BC+CA > A'B'+B'C'+C'A'

簡単そうに見えて解けませんでしたY(>_<、)Y

わかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします

回答No.4

aries_1 · ベストアンサー

ANo.1です。

「明らかに」と言い切ってしまっていいのではないでしょうか？
不完全なら、三角形の面積で証明し直します。

△A'B'C'が△ABCの内部にあるということは、(△ABCの面積)＞(△A'B'C'の面積)…(1)が成立する。

AB=a,BC=b,CA=c
A'B'=a',B'C'=b',C'A'=c'とおきます。
また、
△ABCの面積をS
△A'B'C'の面積をS'
とします。

ここで、ヘロンの公式(←三角形の面積公式)を用いる。

2s=a+b+c…(2)とすると
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}

2s'=a'+b'+c'…(3)とすると
S'=√{s'(s'-a')(s'-b')(s'-c')}

ここで(1)より
S＞S'
⇔√{s(s-a)(s-b)(s-c)}＞√{s'(s'-a')(s'-b')(s'-c')}…(*)
⇔s(s-a)(s-b)(s-c)＞s'(s'-a')(s'-b')(s'-c')
(↑(*)の両辺を二乗)

ここで、仮にs'≧sとするとs＞0、s'＞0より上の不等式は成立しない。

ゆえに
s＞s'
⇔2s＞2s'
これと(2)(3)より
a+b+c＞a'+b'+c'
⇔AB+BC+CA＞A'B'+B'C'+C'A'
よって示された。

お礼

細かい証明回答も加えていただきありがとうございます!!

私も与式は明らかだと思いはしていたものの証明の仕方となると
どうも出来ませんでした。。。

このようにすれば証明されるのですね！ありがとうございました

回答No.3

noname#164771

No.1の「明らかに」は本当に明らかなのかというのがあります。

内部の「任意の」三角形に対してですよね？
内接円半径と面積の関係を使ったらどうでしょうか。

お礼

それぞれの面積を仮として出してみたのですが相互関係を導くのが出来ませんでした

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

MagicianKuma

三角形ABCの各辺を平行移動させ、三角形A'B'C'の頂点に接するようにすると答えがでるかも。

お礼

平行移動して比較する！この方法はもっともな答え方ですね☆

御回答ありがとうございました。

回答No.1

aries_1

三角形△ABCの内部に△A'B'C'があるので、明らかに
AB>A'B'、BC>B'C'、CA>C'A'
よって
AB+BC+CA>A'B'+B'C'+C'A'
[Q.E.D]

これで十分だと思います。

お礼

自分も明らかだとは思うのですが…