不等式

質問

不等式が成り立つ事を示すのですが、
ただし、a,bは実数です。

(1)
|a|＋|b|≧|a＋b|
について
なぜ、このような問題は
(左辺）＾2 -(右辺）＾2≧0の形にするのですか？

計算をすると
(|a|＋|b|)＾2-(a＋b)＾2
|a|＾2 ＋２|a||b|＋　｜ｂ|＾2 -((a＾2)＋2ab＋(b＾２））
となりますが
なぜ、|a|＾2=a＾2
といえるのですか？
もし良かったら、数式などを使っておしえてください

計算の続きで
=2(|ab|-ab)
まではとけたのですが、

この後の
|ab|≧ab
より
(左辺）＾2 -(右辺）＾2≧0から成り立つが
わかりません。
この、２行がなぜ現れなぜこうなるのかわかりません。

(2)
(a＾2)＋10b＾2 ＋4≧6ab＋4b
も同じような感じですが

これを計算すると
左辺ー右辺から

=(a-3b)＾2＋(b-2)＾2≧0
となり
(a-3b)＾2≧0 ,
(b-2)＾2≧0
ですが
なぜ、これらの計算より
(a＾2)＋10b＾2 ＋4≧6ab＋4b
といえるのがわかりません。

回答No.6

twins-mama

>|ab|≧ab
ようにいえるのですか？

|a|≧a
は実数aについて必ず成り立つ式です。

|a|=a　(a>=0のとき)　
　　-a　(a<0のとき)
は大丈夫ですよね？

・aが正の数または0なら|a|=a　

・aが負の数なら
|a|は絶対に正の数だから
　|a|>a　
（左辺が正の数、右辺が負の数なら左辺が大きいのは当たり前です）

だからaが正の数でも0でも負の数でも
|a|≧a
が成り立ちます。

具体例でいえば
a=3のとき　　|3|=3　　　　|a|=a
a=-3のとき　|-3|＞-3　　　|a|>a
といった感じです。

|a|>a、または|a|=aが成り立つことをまとめて
|a|≧a
と書きます。

＞|ab|≧ab
がいえるると
〈左辺）＾2-(右辺）＾2≧０
といえるのですか？

〈左辺）＾2-(右辺）＾2
=　途中省略
=2(|ab|-ab)

|ab|≧ab　だから　|ab|-ab≧0　(移項しただけ)　
ではこの式の両辺を2倍した
　2(|ab|-ab)≧0
も当然成り立つ。
2(|ab|-ab)は〈左辺）＾2-(右辺）＾2
と等しい式だから
〈左辺）＾2-(右辺）＾2≧0
移項して
〈左辺）＾2≧(右辺）＾2

となります。でもここで書いてることは結局taakさんがおっしゃってることと同じです。
絶対値が入った不等式の証明の前はなれないと難しいので、もう一度基本の不等式の証明を復習しておくともっとスムーズに理解できると思いますよ。

回答No.5

taak

まず、大前提として、
a|＋|b|≧|a＋b|と
|a|＋|b|－|a＋b|≧０　は全く同じ式ということは、理解していますか？
・・・・・（A)

x≧yを証明するために、
x-y≧０を証明することは、一緒なのです。
・・・・・（B)

また、もし、
x≧０、y≧０　という条件がついていれば、
x^2-y^2≧０　を証明しても、
x>yを証明したことになります。

・・・・・（C)

これを前提として、

a+b+c≧０を証明する為に、
a≧0,b≧0,c≧0 を証明すればよいというのは、わかるでしょうか？

・・・・・（D)

また、
z^2≧０ は証明する必要がなく、証明の中で使えます。
（ただし、zは実数という条件です。）
・・・・・（E)

|a|＾2 -(a＾2)＋|b|＾2 -(b＾2)＋２|a||b|－2ab
の式は、３つに分けて考えます。

【|a|＾2 -(a＾2)】＋【|b|＾2 -(b＾2)】＋【２|a||b|－2ab
】
(D)の考えを使います。
各【】≧０が言えるので、足した式も≧０です。

・・・・・（F)

「なぜ2(|ab|-ab)
　から

　|ab|≧ab
　ようにいえるのですか？」という質問は、

　|ab|≧abがいえるから、2(|ab|-ab)≧０が言えるのです。　

・・・・・（G)

(A)から(G)のどこまで理解できますか？

補足

FとＧがよくわかりません。

Ｆの式で例えば、【|a|＾2 -(a＾2)】の式でa=-2だとすると
4-4=0になりますよね。
＝はわかるのですが、なぜ＞がつくのですか？
Ｇも同じような質問ですが

変な質問をしてすいません

回答No.4

hirotaka1

＞ポイント：共通項は大小判定に関係しない！
＞よって|ab|≧abが出てきます
＞の部分もうすこし詳しくおしえてください

具体的にまた考えます。
たとえば
50≧30
は自明です。
これを
20+30≧0+30と
変形しても同じですね？(20≧0)
だから、両辺同士で相殺しあうから
　ポイント：共通項は大小判定に関係しない！
が成り立つのです。

補足

なぜ2(|ab|-ab)
から

|ab|≧ab
ようにいえるのですか？

そして、
|ab|≧ab
がいえるると
〈左辺）＾2-(右辺）＾2≧０
といえるのですか？

回答No.3

taak

(1)
|a|＋|b|≧|a＋b|
について
なぜ、このような問題は
(左辺）＾2 -(右辺）＾2≧0の形にするのですか？

一番肝心な、なぜ、このような問題は
(左辺）＾2 -(右辺）＾2≧0の形にするのですか？
という質問に答えてみます。

まず、絶対値の記号|　|があることで、
必ず≧０が左辺、右辺ともにあきらかです。
左辺、右辺共に≧０であれば、両辺を二乗をても不等号の向きが変わりません。

そこで、A>B を示す代わりに、A^2 > B^2
を示してもよいわけです。
すなわち、A^2 > B^2 のB^2を左辺にもっていって、
A^2 - B^2 >0
となります。

補足

なぜ2(|ab|-ab)
から

|ab|≧ab
ようにいえるのですか？

そして、
|ab|≧ab
がいえるると
〈左辺）＾2-(右辺）＾2≧０
といえるのですか？

回答No.2

hirotaka1

（1）
率直な回答
|ab|≧ab
のどちらかに負の数を入れて見ると成立
どちらも正or負も成立。
なので
|a|＋|b|≧|a＋b|は示された。

補足
|a|＋|b|≧|a＋b|の左辺と右辺に分けて考えましょう。
左辺の二乗＝a^2 +2|ab| +b^2
右辺の二乗＝a^2 +2ab +b^2
ポイント：共通項は大小判定に関係しない！
よって|ab|≧abが出てきます。

|a|＾2=a＾2は
実際に実数(+or-を)を入れて確かめてください、納得できますよ
(虚数は入れないでください)

（2）
(a＾2)＋10b＾2 ＋4≧6ab＋4bより
=(a-3b)＾2＋(b-2)＾2≧0
となり
(a-3b)＾2≧0 ,
(b-2)＾2≧0
となったのなら
これらは
　”最初の式を変形されたもの”
であることを注意してください。
二式めの
=(a-3b)＾2＋(b-2)＾2≧0
で第一項は≧0　第二項も≧0
なので左辺は≧0なんです。

補足

ポイント：共通項は大小判定に関係しない！
よって|ab|≧abが出てきます

の部分もうすこし詳しくおしえてください

回答No.1

zero-fighter

＞|a|＋|b|≧|a＋b|　について
与式は、|a|＋|b|≧|a＋b|≧０です。

なぜ、このような問題は
(左辺）＾2 -(右辺）＾2≧0の形にするのですか？

＞なぜ、|a|＾2=a＾2　といえるのですか？
a>0の場合、|a|＾2=a＾2は明らか。
a<0の場合。a=-b（b>0）とする
|a|＾2=b^2。
またa^2＝(-b)^2＝b^2。
よって|a|＾2=a＾2
以上より、いかなるaにおいても|a|＾2=a＾2　……(1)

＞|a|＾2 ＋２|a||b|＋|b|＾2 -((a＾2)＋2ab＋(b＾2))
＝|a|＾2 -(a＾2)＋|b|＾2 -(b＾2)＋２|a||b|－2ab
(1)より|a|＾2=a＾2なので、
＝２|a||b|－2ab　……(2)

＞|ab|≧ab　の証明
1.a>0かつb>0の場合、およびa<0かつb<0の場合、およびa=0またはb=0の場合
　|ab|＝ab
2.a>0かつb<0の場合、およびa<0かつb>0の場合
|ab|＞0、ab＜0なので|ab|≧ab
よって、いかなるabであっても、|ab|≧ab

これを(2)に代入すると、２|a||b|－2ab＝２（|a||b|－ab）≧０

よって、|a|＾2 ＋２|a||b|＋|b|＾2 -((a＾2)＋2ab＋(b＾2))≧０

＞(2)　なぜ、これらの計算より(a＾2)＋10b＾2 ＋4≧6ab＋4b　といえるのがわかりません。
(a＾2)＋10b＾2 ＋4≧6ab＋4b　…… (3)
であるかどうかを考えて見ます。
まず「不等式の両辺に、同じ数を足したり、同じ数を引いたりしても不等号は変わらない」というのはよろしいでしょうか。
(3)の式の両辺から4bを引きます。
(a＾2)＋10b＾2 ＋4 -4b ≧6ab　…… (4)
(3)が成り立っているのであれば(4)は成り立ちますし、(4)が成り立てば(3)も成り立ちます。
次に両辺から6abを引きます。
(a＾2)＋10b＾2 ＋4 -4b -6ab≧0　…… (5)
(5)が成り立っているのであれば(4)は成り立ちますし、(4)が成り立てば(3)も成り立ちます。
ですから、(3)が正しいかどうかを調べるには(5)が成り立つかどうか調べればよいのです。

補足

なぜ2(|ab|-ab)
から

|ab|≧ab
ようにいえるのですか？

そして、
|ab|≧ab
がいえるると
〈左辺）＾2-(右辺）＾2≧０
といえるのですか？