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不等式の問題なのですが
a、b、cを正の数とするとき次の不等式が成り立つことを示せ (1)a+(1/a)≧2 (2){a+(1/b)}{b+(4/a)}≧9 (3){a+(1/b)}{b+(4/c)}{c+(9/a)}≧48 (1)と(2)は展開してから左辺≧0の形にしたあとaやabをかけて二乗の形にして証明したのですが(3)が上手くいきません やり方を教えてください
- 数学・算数
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- B-juggler
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えっと、Ｎｏ．１です。 補足をいただいておりますので。 「相加相乗平均の定理」ですので、 気付くのか、気付かない、のではなくて、その方が楽♪ σ(・・*)は、一応、元代数学の非常勤なんかなものだから、 （１）を見たとき、ａ，ｂ，ｃが 正の数って書いてあると、 一応、なんとなく見えるかな？ 気をつけて欲しいのは、 ａ＋ｂ≧２√（ａｂ） このときに、ａ，ｂ＞０ （０より大きい正の数）で、 等号成立は、 ａ＝ｂ のときのみね。 ここまで定理です＾＾； 分からなかったら、ここで覚えてもいいし、教科書にはちゃんと載っていますよ＾＾； ぱっと見て見えればすごく楽だし、何より気持ちがいいよ＾＾； (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=) 数学って、そういう学問だから＾＾； わからなかったら、いろんなこと考えて、上から見たり、 下から見たり（階段しゃがみこんで見上げたらダメよ、犯罪だからね）、 寝転がってみたり、いろいろとやってみるんです。 そしたらなんか思いつくから＾＾； ＃そういう用意はしてあるものですよ。
お礼
分かりました アドバイスありがとうございました
- ferien
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ANo.6です。 補足について ＞「等号成立は、ａ＝１／ｂ，ｂ＝４／ｃ，ｃ＝９／ａのとき」というのはなぜですか？ ａ＋（１／ｂ）≧２√ａ・（１／ｂ）について、 ａ＝１／ｂのとき、等号が成り立ちます。ａに１／ｂを代入すると、 左辺＝（１／ｂ）＋（１／ｂ）＝２／ｂ 右辺＝２√（１／ｂ）・（１／ｂ） ＝２√（１／ｂ）^2 １／ｂ＞０だから、√（１／ｂ）^2＝１／ｂ ＝２×（１／ｂ） ＝２／ｂ 左辺＝右辺だから、等号が成り立ちます。 他の不等式の場合も同じです。
お礼
よく分かりました ありがとうございました
- ferien
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ANo.3です。補足について ＞等号成立はa=3/2、b=2/3、c=6みたいです ａｂ＝１，ｂｃ＝４，ｃａ＝９を連立させて解けば、 上の答えになります。
補足
分かりました 「等号成立は、ａ＝１／ｂ，ｂ＝４／ｃ，ｃ＝９／ａのとき」というのはなぜですか？
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
♯４です。 訂正 ２行目３番目の括弧の中，9/bは9/aのミスプリです。ごめんなさい。
お礼
ミスプリってミスプリントの略で印刷物にしか使わない気がするんですが・・・ それより了解です
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
左辺を展開して次のように整理します。 (abc+36/abc)+(9b+4/b)+(4a+9/b)+(c+36/c) 各括弧は相加相乗平均を使って，≧１２と評価できる。 問題は同時に等号が成立することがあるかですが，やってみれば a=3/2 , b=2/3, c=6のときとわかります。
補足
やってみれば というのはなにをやるんですか？ =で繋いでも文字3つで一つに定まらないと思います
- ferien
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＞a、b、cを正の数とするとき ＞(3){a+(1/b)}{b+(4/c)}{c+(9/a)}≧48 ａ，ｂ，ｃが正の数だから、 相加平均・相乗平均より、 ａ＋（１／ｂ）≧２√ａ・（１／ｂ） ｂ＋（４／ｃ）≧２√ｂ・（４／ｃ） ｃ＋（９／ａ）≧２√ｃ・（９／ａ） 左辺同士右辺同士掛け合わせると、 ｛ａ＋（１／ｂ）｝｛ｂ＋（４／ｃ）｝｛ｃ＋（９／ａ）｝ ≧２^3√ａ・（１／ｂ）√ｂ・（４／ｃ）√ｃ・（９／ａ） 右辺＝２^3√｛ａ・（１／ｂ）・ｂ・（４／ｃ）・ｃ・（９／ａ）｝ ＝２^3√４×９ ＝８×６ ＝４８ よって、｛ａ＋（１／ｂ）｝｛ｂ＋（４／ｃ）｝｛ｃ＋（９／ａ）｝≧４８ （等号成立は、ａ＝１／ｂ，ｂ＝４／ｃ，ｃ＝９／ａのとき、 ａｂ＝１，ｂｃ＝４，ｃａ＝９のとき） どうでしょうか？
補足
等号成立はa=3/2、b=2/3、c=6みたいです
- bgm38489
- ベストアンサー率29% (633/2168)
展開する前に、abcをかける。一つ目の括弧にはb、二つ目にはc、三つ目にはaという風に分配して。すると、展開も簡単。 (2)も、abをかけてから展開すれば、簡単だろ？
補足
展開は楽になりましたが進展が見えないのです
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- 数学・算数
お礼
{a+(1/b)}{b+(4/c)}{c+(9/a)}≧8√(36abc/abc)=±48 a、b、cは正だから+48で証明されたということですね ありがとうございました
補足
｛ａ＋（１／ｂ）｝≧２√(ａ／ｂ)にたどり着くまで5分くらい考えましたけど、 普通このカテゴリでの質問者はこういうのを一瞬で思いつくものなんでしょうか？