この不等式の証明はどうやればよいのでしょうか。少しやってみたのですがわかりません。

質問

次の不等式を証明せよ。

（a+1/b）（b+1/a）≧4　

私はこうやりましたが続きがわかりません。
左辺を展開し、
ab+2+1/ab≧4
ab-2+1/ab≧0

学校でならった（大きい方）-（小さい方）が正になれば証明できる、のやりかたを使っています。
ここからどうすればよいのか全くわかりません。
もしこのやりかたでよければ続きを、他の方法があるのであればそちらを教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

＞それと、先ほど書き忘れていたのですが問題文に、（a＞0 , b＞0）という条件が書かれていました。

この条件がなければ、相加平均・相乗平均は使えない。

もつと簡単にやろう。

a＞0 , b＞0より、相加平均・相乗平均の関係より、
a+1/b≧2√（a/b）‥‥(1)　等号成立はは、a＝1/bの時。
b+1/a≧2√（b/a）‥‥(2)　等号成立はは、b＝1/aの時。
(1)*(2)を作ると、（a+1/b）*（b+1/a）≧4　等号成立は、ab＝1の時。

お礼

わかりやすく説明していただいてありがとうございます。

回答No.5

BookerL

#2です。

式に間違いがありましたので訂正です。

＞　ab-2+1/ab
＞　= (√ab)^2 - 2 + (√(1/ab))^2
＞　= (√ab) - √(1/ab))^2

　最後の式の (　) の付け方が間違っていましたので訂正を
　　　↓

ab-2+1/ab
= (√ab)^2 - 2 + (√(1/ab))^2
= (√ab - √(1/ab))^2

※ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 を使っています。

お礼

お礼が遅くなってしまってすみませんでした。
最後まで丁寧にありがとうございました。

回答No.4

Tacosan

#1 あるいは #2 が正攻法です.
#3 の方法は「使えるときは使えるけどダメなときは全くダメ」なので, 「使えるかどうかの見極め」が必要になります. (a+1/b)(b+1/a) ならいいんだけど, (a+1/b)(b+2/a) だと #3 の方法はダメなんだよな....

お礼

「見極め」が必要になるんですね。
それは難しそう…
#1/2の方法で解けるようにしなくてはいけない！ということですね。
ありがとうございました。
頑張ります！

回答No.2

BookerL

＞もしこのやりかたでよければ続きを、他の方法があるのであればそちらを教えていただけないでしょうか。

「他の方法」は#1さんが示されましたね。「相加平均・相乗平均」は、よく出てくるのでマスターしましょう。

それとは別に、「このやり方」＝「学校でならった（大きい方）-（小さい方）が正になれば証明できる、のやりかた」でやってみると、

＞ ab-2+1/ab≧0

ここから 左辺≧0 を示せばいいことになります。
何かの２乗は 必ず ≧0 ですから、左辺が何かの２乗にできないか、ということで強引に
ab を (√ab)^2 に、1/ab を (√(1/ab))^2 と置いてみると、

ab-2+1/ab
= (√ab)^2 - 2 + (√(1/ab))^2
= (√ab) - √(1/ab))^2

となって ab-2+1/ab≧0 が示せます。

自分の使える形に「強引に」変形してやる、というのもよくあるやり方です。

お礼

強引に、なんてこともできるんですね！
それと
= (√ab)^2 - 2 + (√(1/ab))^2
= (√ab) - √(1/ab))^2
なんですが、上段の【(√ab)^2】はどうして【(√ab)】になり、【- 2】はどうしてなくなってしまったのでしょうか？
『（）』の関係がわからなくて・・・
a^2-2ab+b^2=（a-b）^2を使っているということでしょうか。

相加平均・相乗平均の関係、完璧にマスターできるように頑張りますね。

回答No.1

proto

相加平均と相乗平均の関係というものがあります。
具体的にはx>0,y>0のとき
　　(相加平均) = (x+y)/2
　　(相乗平均) = √(xy)
とすると、常に
　　(相加平均) ≧ (相乗平均)
という関係です。

いま、ab>0,1/ab>0と仮定すると
abと1/abの相加平均は
　　(相加平均) = (ab+1/ab)/2
abと1/abの相乗平均は
　　(相乗平均) = √(ab*1/ab) = 1
よって相加平均と相乗平均の関係より
　　(ab+1/ab)/2 ≧ 1
　　ab+1/ab ≧ 2
　　ab+2+1/ab ≧ 4
となり、目的の式が示せました。

参考URL：

http://www.ies.co.jp/LoveMath/1st_grade/mean/mean.html

お礼

相加平均と相乗平均の関係ですね。
ご丁寧に説明していただき、ありがとうございました。
それと、先ほど書き忘れていたのですが問題文に、（a＞0 , b＞0）という条件が書かれていました。

そして問題としての始め方としては
（相加平均）＝（a+1/b+b+1/a）/2
（相乗平均）＝√（a+1/b）（b+1/a）＝√ab+2+1/ab
ということになるのでしょうか。
そうなるのであれば、相加平均と相乗平均の関係から
（a+a/b+b+1/a）/2≧√ab+2+1/ab
ということになりますよね？
もしくは、protoさんが提示してくださったように（ab>0,1/ab>0）と勝手に仮定して進めていけばよいのでしょうか？