この不等式の証明は？

質問

はじめまして。不等式の証明がわからずに悩んでいます。

x,yを正の実数とし、r≧1とします。このとき、|x^r-b^r|≧|a-b|^rを証明したいのですが、どうやればいいのかさっぱり…

どなたか教えてください。

回答No.4

aquarius_hiro

こんにちは。

簡単に考えるには、

f(p) = p^r

という関数のグラフを書いてみます。

r≧1 で、下に凸な曲線になり、p=0 で原点からはじまることは明らかですね。

書いたグラフを見ながら下の話を読んでください。

x>y として一般性を失わないです。

p=x, y, x-y の点をプロットします。x > y で、

x^r - y^r > (x-y)^r - 0^r

であることは下に凸なグラフより明らかですね。

左辺の x^r - y^r は、p=y から p=x に、距離 (x-y) だけ移動したときの f(p) の増加分です。

右辺の (x-y)^r - 0^r は、原点 p=0 から p=(x-y) に、同じ距離 (x-y) だけ移動したときの f(p) の増加分です。

同じ距離 x-y だ移動するのですから、原点より遠く離れたところで移動したほうが、f(p) の増加分は大きくなりますね。従って、x>y では

x^r - y^r > (x-y)^r - 0^r

が成立ちます。また x=y のときには両辺 0 となるので、あわせて

x^r - y^r ≧ (x-y)^r

がわかります。

これで十分に証明になっていますが、微分で証明するのも示してみますね。

[別解]

計算が楽になるように、X=x^r, Y=y^r とおきます。

示すべき不等式は、x^r - y^r - (x-y)^r ≧ 0 ですが、X,Y で書くと、

g(X) = X - Y - [X^{1/r} - Y^{1/r}]^r

です。Yを定数とみて、g(X) が、X≧Y で常に正か0であることを示します。

まず、g(Y) = 0 は明らか。

g'(X) = 1 - (1/r) X^{(1/r)-1} r[X^{1/r} - Y^{1/r}]^{r-1}
= 1 - X^{(1-r)/r} [ X^{1/r} - Y^{1/r} ]^{r-1}
= 1 - [X^{-1/r} (X^{1/r} - Y^{1/r}) ]^{r-1}
= 1 - [ 1 - (Y/X)^{1/r} ]^{r-1}

ところで、この第二項は≦1なので、g'(X)≧0 がいえます。

g(Y) = 0 で、g'(X≧Y)≧0 なので、

すべての X≧Y に対して、g(X) ≧ 0 がわかります。

お礼

解決しました。ありがとうございます。

回答No.3

noname#57316

ｘ-ｙ　を　ｚ　とでも置いて、ｙ　を消去し
全体を　ｚ^r　で割ると、明白でしょう。

お礼

解決しました。ありがとうございます。

回答No.2

kts2371148

とりあえずヒントだけ。
x > y なら絶対値が外れます。
x = y なら不等式は必ず成り立ちます。
x < y なら絶対値が外れます。
その結果、x > y の場合だけを証明すればよいことがわかると思います。
このことを数学者風に言えば、「x > y としても一般性を失わない」となります。
そして、両辺を y^r で割ると文字が一つ減ります。
あとは恐らく微分でも使えばいいでしょう。

お礼

解決しました。ありがとうございます。

回答No.1

kts2371148

y が出てきませんし、a と b は一体何なのでしょうか？
たぶん問題のどこかが違うのだろうとは思いますが…
補足をお願いします。

補足

すいません、質問文に誤りがあったので訂正します。正しくは、
|x^r-y^r|≧|x-y|^r
です。指摘ありがとうございます。