- 締切済み
数II 不等式の証明
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- bran111
- ベストアンサー率49% (512/1037)
√a²+b²+1√x²+y²+1≧|ax+by+1| (1) (1)は左辺が正であることを条件に2乗することができる。それは満たされているので、両辺2乗して (a²+b²+1)(x²+y²+1)≧(ax+by+1)^2 (2) 展開して整理すると (ax-by)^2+(a-x)^2+(b-y)^2≧0 (3) 左辺は実数の平方和になっているので(3)は常に成り立つ。 よって(3)を整理し直して(2)を導くことができ、開平して(1)を導くことができる。
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
ある実数 zがあるとして、絶対値を取ると |z|=zまたはーz でしょ? マイナスが付くかどうかはzの値次第で。 だから|z|を二乗すると z^2 になります。
関連するQ&A
- 数学の不等式の証明
数学の不等式の証明に関する質問です。 (問題) 次の不等式を証明せよ。ただし、文字はすべて実数を表す。 (1)√a^2+b^2+c^2*√x^2+y^2+z^2≧|ax+by+cz| (2)10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2 (1)は式を2乗し、差をとって変形して証明できました。 (2)は(1)の式を利用することまでは分かるのですが、どうやって式を利用して証明すればよいか分かりません。 (1)の2乗した式にa=√2a,b=√3b,c=√5c,x=√2,y=√3,z=√5を代入すると、(2)と等しくなります。 けどこれではちゃんとした解答と言えるのかがわかりません。 証明の切り口を教えていただけないでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 数II 不等式の証明
御世話になっております。 教科書一冊、参考書一冊で数学を独学中の者です。 例えば、不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caを証明しろ という問題。また、これに限らず、二次の不等式の証明は、証明の大筋をざっくり掴んだ当方には中々その解法の流れが掴めずにつまずいております。なぜなら、p⇒qの形をとらずにいるためです。 実数の二乗は0以上という基本は踏まえてます。しかし、不等式の左辺-右辺を平方完成する意味も中々掴めません。 平方完成する意味とか含めて、不等式の証明についてざっくりと御説明下さると助かります。御自身の解釈の範囲で構いません。宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシー・シュワルツの不等式の証明について
コーシー・シュワルツの不等式の証明について 二次不等式を使った証明なのですが、場合分けをする理由がよくわかりません。 どなたかご教示お願いします。 問.tがどんな実数値を取っても常に(at-x)^2+(bt-y)^2≥0であることを用いて、次の不等式を証明せよ。 (a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 これを証明するには、 (at-x)^2+(bt-y)^2≥0の左辺をtについて整理して (a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≥0 したがってtの2時不等式が得られるので、(左辺)≥0となる条件から D/4=(ax+by)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≤0 移行して (a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 と、ここまでは導けたのですが、解答では (i)a^2+b^≠0 すなわち a^2+b^2>0のとき (ii)a^2+b^2=0 すなわち a=b=0のとき と場合分けをして、どちらも成り立つことを証明しています。 この二次不等式が0以上であるためには判別式D≦0とともにa^2+b^2>0(下に凸)という条件が入ってくるのだと思いますが、それならば(ii)はいらないのではないでしょうか。2つの場合が成り立たなければならない理由はなんでしょうか。 よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式の証明
不等式の証明 今私はいろいろな不等式についてまとめを作っているのですが、証明の仕方がわからないものと例題が見つからないものあるのです。 よかったら教えていただけないでしょうか? 証明の仕方については、下の例のように方針も書いてくれるとありがたいです。 教えていただきたいものをはいくつかあるのですが、1つだけでも知っているものがあればお願いします 無いとは思いますが、私は高校3年生なので、大学に入ってからじゃないと習わないものなどはなるべく避けてほしいです (例) □□をしたいのでまず〇〇を考える 次に~~ では教えていただきたいものを書きます。 1:「a<b,x<y」のとき「ax+by>ay+bx」 2:1の3文字ずつバージョンなのですが、私の使っている参考書や問題集に載っていなかったので証明してほしい式すら書けません。ごめんなさい。 3:f(x)が下に凸のとき、{f(a)+(b)}/2≧f{(a)+(b)/2}の例題
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
例によって、近所の高校生からの質問が発端。先ず、問題を書きます。 実数c (0<c<1) と実数:x、y、a、bの間に |x-a|<c、|y-b|<c という関係があるとき、|xy-ab|<c*(c+|a|+|b|)を証明せよ。 この問題は、段階式設問になっており、(1)で三角不等式(つまり、|x+y|≦|x|+|y|)を証明させた後に この設問になっているから、それに乗れば この問題自体は簡単。 しかし、三角不等式が与えてられてなかったら、どのように解くか? aとbで場合わけをするのは面倒そうだし、という事でなにか良い方法がないだろうか? 検討をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数IIの問題です。至急お願いします!!
a,b,xを実数とするとき、次の等式、不等式が成り立つことを証明せよ。 また、等号が成り立つのはどのような場合か。 x>0 のとき x+1/x≧2 詳しい回答、どうぞよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数