数学の不等式の証明

質問

数学の不等式の証明に関する質問です。
(問題)
次の不等式を証明せよ。ただし、文字はすべて実数を表す。
(1)√a^2+b^2+c^2*√x^2+y^2+z^2≧|ax+by+cz|
(2)10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2

(1)は式を2乗し、差をとって変形して証明できました。
(2)は(1)の式を利用することまでは分かるのですが、どうやって式を利用して証明すればよいか分かりません。

(1)の2乗した式にa=√2a,b=√3b,c=√5c,x=√2,y=√3,z=√5を代入すると、(2)と等しくなります。

けどこれではちゃんとした解答と言えるのかがわかりません。

証明の切り口を教えていただけないでしょうか？

回答No.2

R_Earl

ANo.1です。

a^2+b^2+c^2*√x^2+y^2+z^2≧|ax+by+cz|の
aをAに、bをBに、cをCに、xをXに、yをYに、zをZに置き換える方法を
先ほど書きましたが、よくよく考えるとべつにx、y、zについては
大文字の文字式に置き直す必要はないですね。
なのでx,y,zはそのままでも大丈夫です。
失礼しました。

補足

丁寧な回答有難うございました。

回答No.1

R_Earl

(1)が全ての実数x,y,z,a,b,cについて成り立つなら、
x = √2としても不等式は成り立ちますし（√2は実数だから）、
aを√2aに置き換えても不等式は成り立ちます（√2aも実数だから）。
不等式は全ての実数で成り立つからです。
なのであなたの解答で良いと思います。

ただ、『aに√2aを代入する』というのが正しい表現なのか分かりません。
『a = √2aなら、a = 0じゃないか』と突っ込まれる可能性があります。
そこさえなんとかすれば大丈夫だと思いますが、何と表現すればいいのか私にはわかりません。
『不等式のaを√2aに置き換えると』とすれば良いかもしれませんが、どうなんでしょうね。

別の文字を使うという手もあります。
例えば

**************************************
(1)より、全ての実数A,B,C,X,Y,Zにおいて

√A^2+B^2+C^2*√X^2+Y^2+Z^2≧|AX+BY+CZ|

が成り立つ。不等式の左辺も右辺も0以上の実数なので、
両辺を2乗しても大小関係は変わらない。
両辺を二乗して

(A^2+B^2+C^2)*(X^2+Y^2+Z^2)≧(AX+BY+CZ)^2

この式にA=√2a,B=√3b,C=√5c,X=√2,Y=√3,Z=√5(a,b,cは全ての実数)を代入して

10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2

**************************************

といった感じでしょうか。