不等式の証明

質問

(1)x≧0、y≧0のとき、つねに不等式
√（x+y)＋√y≧√（ｘ＋ay）
が成り立つような正の定数aの最大値を求めよ

(2)(1)aを用いて、x≧0、y≧0、z≧0のとき常に不等式
√（x+y+z)＋√（y+z)＋√z≧√（x+ay＋bz)
が成り立つような正の定数bの最大値を求めよ

これらの問題なのですが、
学校では不等式の証明は「２乗して引いて証明」と教わったのですが２乗してもうまくできません。０以上という条件から相加相乗というのを使うのかと思いましたが・・・でした。
教えていただければ助かります
宜しくお願いします

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

(1)
まず2乗します。与式の左辺も右辺も0以上なので、
不等号の向きは変化しません。

(x+y)+2√{(x+y)y}+y≧(x+ay)
∴x+2y+2√{(x+y)y}≧(x+ay)

で、(x+ay)を左に移して

(2-a)y+2√{(x+y)y}≧0

2√{(x+y)y}＝2√(y^2+xy)なので、

(2-a)y+2√(y^2+xy)≧0

式変形をして今、(2-a)y+2√(y^2+xy)が0以上になるaの最大値を
探しています。が、ちょっと大変なので、

「(2-a)y+2√(y^2+xy)の最小値が0以上になるような、aの最大値を探す」

という事にします。最小値が0以上なら、それ以外の値も
0以上になりますし。
ここで(2-a)y+2√(y^2+xy)をもう一度見てください。
(2-a)yにはxの文字がありませんが、2√(y^2+xy)にxがあります。
xの数値が変化しても、影響があるのは2√(y^2+xy)の部分のみで、
(2-a)yは変化しません。
なのでとりあえず、xがどんな値の時、2√(y^2+xy)が最小となる
「可能性」が出てくるのかを考えます。
ここで

「0＜n＜Nの時、√n＜√N」

というルートの性質を使います。
2√(y^2+xy)のルートの中身、(y^2+xy)が最小となれば、
2√(y^2+xy)も最小となりますよね？
なのでx=0の時、2√(y^2+xy)は最小となる「可能性」が出てきます。
実際にx=0を代入すると

2√(y^2+xy)＝2y

となります。

よって

(2-a)y+2√(y^2+xy) ≧ (2-a)y+2y ≧ 0

となります。
ここで(2-a)y+2y＝(4-a)yです。また、y≧0なので

(4-a)≧0
∴4≧a

以上より、求める最大のaは4となります。

同様にして(2)も解けるはずです。
a=4を代入し、同じように2乗して左側にまとめると

-2y+(3-b)z+2√{(y+z)^2+x(y+z)}+2√{z^2+z(x+y)}+2√(z^2+yz)≧0

今回は式が長いので

-2y+(3-b)z+2√{(y+z)^2+x(y+z)}+2√{z^2+z(x+y)}+2√(z^2+yz)＝Ａ

として説明しますね。

(1)と同じように左辺を最小にするように考えます。
今回はまず2√{(y+z)^2+x(y+z)}+2√{z^2+z(x+y)}の部分から考えます。
2√{(y+z)^2+x(y+z)}も2√{z^2+z(x+y)}も、xの値が増えると増加します。
逆にxが最小(0)となれば、2√{(y+z)^2+x(y+z)}も2√{z^2+z(x+y)}も
最小となる可能性がでてきます。
x＝0の時、

Ａ→-2y+(3-b)z+2√{(y+z)^2+x(y+z)}+2√{z^2+z(x+y)}+2√(z^2+yz)
　＝(5-b)z+2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)

これをまたＢとおきます。

Ｂの式を良く見ると、2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)の部分のみに
yが関与しています。
前と同じように考えるとyが最小(0)の時、2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)が
最小となる可能性が出てきます。

y=0の時、
Ｂ→(5-b)z+2z+2z
　＝(9-b)z

よって

Ａ≧Ｂ≧(9-b)z≧0

z≧0なので

(9-b)≧0
∴9≧b

以上より、求める最大のbは9となります。

回答No.4

R_Earl

♯3です。(2)の解答部分でややおかしい点があったので訂正します。

訂正部分
――――――――――――――――――――――――――――――――

x＝0の時、

Ａ→-2y+(3-b)z+2√{(y+z)^2+x(y+z)}+2√{z^2+z(x+y)}+2√(z^2+yz)
　＝(5-b)z+2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)

これをまたＢとおきます。

Ｂの式を良く見ると、2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)の部分のみに
yが関与しています。
前と同じように考えるとyが最小(0)の時、2√(z^2+yz)+2√(z^2+yz)が
最小となる可能性が出てきます。

――――――――――――――――――――――――――――――――

正しくは

――――――――――――――――――――――――――――――――

x＝0の時、

Ａ→-2y+(3-b)z+2√{(y+z)^2}+2√{z^2+yz}+2√(z^2+yz)
　＝-2y+(3-b)z+2(y+z)+4√{z^2+yz}
　＝(5-b)z+4√(z^2+yz)

これをまたＢとおきます。

Ｂの式を良く見ると、4√(z^2+yz)の部分のみに
yが関与しています。
前と同じように考えるとyが最小(0)の時、4√(z^2+yz)が
最小となる可能性が出てきます。

――――――――――――――――――――――――――――――――

です。
すみませんでした。

回答No.2

postro

√（x+y)＋√y≧√（ｘ＋ay）　両辺を２乗して
x+2y+2√（xy+y^2)≧ｘ＋ay　整理して
2√（xy+y^2)≧（a-2)y　さらに
2+2√（x/y+1)≧a　
（x/y+1)≧1 なので左辺は
2+2√（x/y+1)≧4　
よって与えられた不等式　√（x+y)＋√y≧√（ｘ＋ay）　が任意に成り立つaの最大値は４

上の結果より
√（x+y+z)+√z≧√（x+y+4z) よって
√（x+y+z)+√（y+z)+√z≧√（x+y+4z)+√（y+z) ここで右辺を
√（x+y+4z)+√（y+z)=√（x+3z+y+z)+√（y+z) とすると上の結果より
√（x+3z+y+z)+√（y+z)≧√｛（x+3z)+4（y+z)}=√（x+4y+7z) が成り立つことがわかる。
ｂの最大値は7

回答No.1

mister_moonlight

√（x+y)＋√y≧√（ｘ＋ay）‥‥‥(1)

(1)
√（x+y)＝α、√y＝βとすると、x＝α＾2-β＾2、y＝β＾2.
これを(1)に代入すると、α＋β≧√｛α＾2＋(a-1)β＾2｝、α≧0、β≧0より両辺が正か0より平方しても同値。
平方して整理すると、(2-a)β＋2α≧0。、β＝0のときは任意に成立し、β≠0の時はα／β＝tとすると、a≦2(t＋1)であり、t≧0よりa≦2(t＋1)≦2.
よって、aの最大値は2.

(2)
a＝2で(1)より、√｛(x＋y)＋z｝＋√(z)≧√｛(x＋y)＋2z｝。
√｛(x＋y)＋z｝＋√(z)＋√(y＋z)≧√｛(x＋y)＋2z｝＋√(y＋z)。
√｛(x＋y)＋2z｝＋√(y＋z)＝√｛(x＋z)＋(y＋z｝＋√(y＋z)≧√｛(x＋z)＋2(y＋z)＝√(x＋2y＋3z)。
以上から、bの゜最大値は3.