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不等式の証明
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一見して、置き換えに気がつく。 x/(x-1)=α、y/(y-1)=β、z/(z-1)=γ とする。 x=α(x-1)から、(α-1)x=α 。α≠1だから、x=α/(α-1)であり、それはyとzについても同じだから、y=β/(β-1)、z=γ/(γ-1)となる。 これを、xyz=1 に代入すると、αβγ=(α-1)*(β-1)*(γ-1) → α+β+γ=αβ+βγ+γα+1. α+β+γ=m、β+βγ+γα=nとすると、m=n+1 証明する式は、α^2+β^2+γ^2-1≧0 だから、α^2+β^2+γ^2-1=m^2-2n-1=n^2≧0 それで、等号成立は?
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お礼
回答ありがとうございます いつもながら、鮮やかです。 置き換えという手法は、記憶しておきます。(使いこなせるかは別であるが) 置き換えによって何が起きたのか、・・・ずいぶん考えやすい形になるものだと 感心します。 等号はn=0のときで、α+β+γ=1、αβ+βγ+γα=0、αβγ=? xyz=1,xy+yz+zx=3,x+y+z=? 等号のときx,y,zはどうなるのか・・・考え中。