- ベストアンサー
【不等式の証明】
(1)s,tは実数で、s>0,st≧4を満たすとする。 このとき、s+t≧4が成り立つことを示せ。 (2)xとyは実数で、x>0,x^8(y-x^2)≧4を満たすとする。 このとき、x(x+y)≧4が成り立つことを示せ。 (1)は相加相乗平均を使います。 (2)は(1)の結果を使います。 先生が、「これはひらめきが必要!」 と言っていました。 解ける方がいらっしゃいましたら、 解説お願いしますm(_)m
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (4)
- MagicianKuma
- ベストアンサー率38% (135/348)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
関連するQ&A
- 不等式の証明
xyz=1,x>0,y>0,z>0のとき、 1/√(1+8x)+1/√(1+8y)+1/√(1+8z)>=1 を示せ。 先ずは、√を外そうと考えました。 s=√(1+8x), t=√(1+8y), r=√(1+8z)とおくと、 (s^2-1)(t^2-1)(r^2-1)=1,s>1,t>1,r>1のとき、 1/s+1/t+1/r>=1 を示すことになる。 √を外せば、簡単になるのかと思いましたが、 (s^2-1)(t^2-1)(r^2-1)=8^3とかs>1,t>1,r>1の条件の使い方が よく分かりませんでした。 1/s+1/t+1/r>=1 を示すのに、左辺に相加相乗平均を使うと、 左辺>=3*(1/str)^(1/3)となるが、これが1以上になればよいので、 3^3>=str を示せればよいと思いました。 (s^2-1)(t^2-1)(r^2-1)=8^3 に対しても相加相乗平均を使ってみました。 s^2+t^2+r^2>=27となるが、3^3>=str と関連が分からず。 このあと、どう結論にもっていけばよいでしょうか。また、方針として、結論には 程遠い解法でしたら、すみません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
正の実数x,y,zで、xyz=1のとき、 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3/2 を示せ。 左辺について、相加相乗平均をつかうと、 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3{xyz/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3) =3{1/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3) これから、8>=(y+z)(z+x)(x+y)をしめせばよい。が、どうしても しめせない。ということは、最初の出だしがよくないと思う。 次に、xyz=1と相加相乗平均から、 左辺=1/yz(y+z)+1/zx(z+x)+1/xy(x+y) =4/(y+z)^3+4/(z+x)^3+4/(x+y)^3 とかしてみたが、 結局、8>=(y+z)(z+x)(x+y)に帰着するので、ダメ。 あとは、x/(y+z)>=3/2*{x/(x+y+z)}を示せれば、よいと思いましたが、 できませんでした。 解決方法のアドバイスお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
a,b,c,dはabcd=1,を満たす正の実数のとき、 (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)>=25/4 を示せ。 試したのは、(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)に対して相加相乗平均を使って、4以上 ただし、9/(a+b+c+d)の処理がうまくいかない。 a+b=x,c+d=yとおいて、相加相乗をもちいると (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)=(a+b)/ab+(c+d)/cd+9/(a+b+c+d) >=4/x+4/y+9/(x+y) これが25/4以上を示せばよいと思ったが、進まず。 コーシーシュワルツを使って、何かできないかとも考えてみたが、何を目標に 変形を考えて良いのか、・・・・ いずれにしても、 9/(a+b+c+d)をどう考えるかが、ポイントになるのでないかと 思うのであるが、・・・ アドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相加・相乗平均の関係を使った不等式の証明
不等式の証明で、 x,y,zが正の実数で、xyz>1のとき x^2y+y^2z+z^2x>xy+yz+zx となることを証明せよ、という問題なのですが、 おそらく左辺を3項の相加・相乗平均の関係を使って 左辺≧3xyzを使うのだろうということ以外分かりません。 ご教授お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 3変数の基本対称式に関する不等式って?
2変数の基本対称式 u=x+y v=xy において、xとyが実数のとき、x,yを解とする方程式 0=(t-x)(t-y)=t^2-ux+v の判別式が0以上なので、 u^2-4v≧0 が成り立ちます。なおx,yが正のとき、この不等式は相加相乗平均の関係を意味します。 では3変数のときはどうなるのでしょうか? u=x+y+z v=xy+yz+zx w=xyz において、xとyとzが実数のとき、x,y,zを解とする方程式 0=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-ux^2+vx-w において、3つの実数解をもつということは、2つの極値の積が負ということですが、そのときu,v,wの間にはどのような不等式が成り立つのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
Yahoo知恵袋のコイン?と勘違いして 「お礼をする」のボタンを押すには そういうポイントが必要かと思ってて なかなか押せませんでした。 普通に文章打てるんですね。 本当に思いこみが激しかったです…(><) すいませんでした。