• ベストアンサー

【不等式の証明】

alice_44の回答

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.3

(1) 相加相乗を使う前に、t＞0 を示しておく ことを忘れずにね！ (2) (1)が 何か≧4 から 別の何か≧4 を導く定理 であることに注目して、繰り返し使えないか？ と考えると… s=(xの5乗), t=(xの3乗)(y-(xの2乗)) として (1)を使うと、(xの3乗)y≧4 が導ける。 ここで、もう一度、s=(xの2乗), t=xy として (1)を使うと、目的の式が導かれる。 トリッキーな割りに深みが無く、 あまり感心しない問題。 作題者は、ロクな人物ではないと思う。

Naaacham
質問者

お礼

ありがとうございます！ そういう考え方なんですね！ トリッキーですね^^

この回答がついた質問に戻る
回答 全件
ベストアンサー
ひらめき、という程の問題ではない。 ＞（２）xとyは実数で、x>0,…
(2)x>0ならばx^5>0なので、x>0,x^8(y-x^2)≧4は…
「相加相乗平均」にこだわれば、 (s+t)/2 ≧√(st)≧2 の中…
(1) 「ひらめき」無しの答案。 s>0, st≧4 を満たすなら、t…
  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 不等式の証明

    xyz=1,x>0,y>0,z>0のとき、 1/√(1+8x)+1/√(1+8y)+1/√(1+8z)>=1 を示せ。 先ずは、√を外そうと考えました。 s=√(1+8x), t=√(1+8y), r=√(1+8z)とおくと、 (s^2-1)(t^2-1)(r^2-1)=1,s>1,t>1,r>1のとき、 1/s+1/t+1/r>=1　を示すことになる。 √を外せば、簡単になるのかと思いましたが、 (s^2-1)(t^2-1)(r^2-1)=8^3とかs>1,t>1,r>1の条件の使い方が よく分かりませんでした。 1/s+1/t+1/r>=1　を示すのに、左辺に相加相乗平均を使うと、 左辺>=3*(1/str)^(1/3)となるが、これが１以上になればよいので、 3^3>=str を示せればよいと思いました。 (s^2-1)(t^2-1)(r^2-1)=8^3 に対しても相加相乗平均を使ってみました。 s^2+t^2+r^2>=27となるが、3^3>=str と関連が分からず。 このあと、どう結論にもっていけばよいでしょうか。また、方針として、結論には 程遠い解法でしたら、すみません。

  • 不等式の証明

    x,y,zは実数で,xyz=1を満たすとき、次の不等式を示せ。 x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2>=1 考えたのは、３通りで、 (1)　zを消去して、x,yにして、１文字固定。しかし、式がきれいにならず、計算で挫折 (2)　x,y,zを正の数、負の数で場合分けして、相加相乗平均を使うが進展しない (3)　コーシーシュワルツも相加相乗と同様進展しない アドバイスお願いします。

  • 不等式の証明

    正の実数x,y,zで、xyz=1のとき、 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3/2 を示せ。 左辺について、相加相乗平均をつかうと、 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3{xyz/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3) =3{1/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3) これから、8>=(y+z)(z+x)(x+y)をしめせばよい。が、どうしても しめせない。ということは、最初の出だしがよくないと思う。 　次に、xyz=1と相加相乗平均から、 左辺=1/yz(y+z)+1/zx(z+x)+1/xy(x+y) =4/(y+z)^3+4/(z+x)^3+4/(x+y)^3　とかしてみたが、 結局、8>=(y+z)(z+x)(x+y)に帰着するので、ダメ。 あとは、x/(y+z)>=3/2*{x/(x+y+z)}を示せれば、よいと思いましたが、 できませんでした。 解決方法のアドバイスお願いします。

  • 不等式の証明

    a,b,c,dはabcd=1,を満たす正の実数のとき、 (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)>=25/4 を示せ。 試したのは、(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)に対して相加相乗平均を使って、４以上 ただし、9/(a+b+c+d)の処理がうまくいかない。 a+b=x,c+d=yとおいて、相加相乗をもちいると (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+9/(a+b+c+d)=(a+b)/ab+(c+d)/cd+9/(a+b+c+d) >=4/x+4/y+9/(x+y) これが25/4以上を示せばよいと思ったが、進まず。 コーシーシュワルツを使って、何かできないかとも考えてみたが、何を目標に 変形を考えて良いのか、・・・・ いずれにしても、 9/(a+b+c+d)をどう考えるかが、ポイントになるのでないかと 思うのであるが、・・・ アドバイスをお願いします。

  • 相加・相乗平均の関係を使った不等式の証明

    不等式の証明で、 x,y,zが正の実数で、xyz＞１のとき x^2y+y^2z+z^2x＞xy+yz+zx となることを証明せよ、という問題なのですが、 おそらく左辺を３項の相加・相乗平均の関係を使って 左辺≧3xyzを使うのだろうということ以外分かりません。 ご教授お願いします。

  • 不等式の証明問題

    ｘ＞０、ｙ＞０、ｘ＋ｙ＝１のとき（１＋１／ｘ）（１＋１／ｙ）≧９が成り立つことを示せという問題がどうも解けません。相加≧相乗をつかうのかなという感じがしますが、きちんと証明できないんです。どなたか教えてください。

  • 式と証明

    x＞0、y＞0のとき、16y/x+9x/y≧ｍが成立するような「最大の整数」ｍの値は ｍ＝□□である。ただし、等号が成立するのは、y＝□xのときである。 相加相乗平均を使って、16y/x+9x/y≧24 ｍ≦24の整数について、 つねに16y/x+9x/y≧24≧ｍが成り立つと書けるから、ｍの最大値は24 ｍは左辺の最小値として考えると解説にありましたが、どういう意味なのかわかりません。 それとなぜこれで最大値を求められるのですか。 24は16y/x+9x/yの最小値というのはわかるのですが・・・。

  • 条件つきの最大値

    x≧0,y≧0,x+y≦6のとき z＝(x-2)(y+3)の最大値とそのときのx,yを求めよ。 先生から与えられたヒントが相加・相乗平均の関係を使うことなので、 x≧0,y≧0で、相加・相乗平均の関係より、 x+y≧2√(xy) (等号成立はx＝yのとき。) 与えられた条件と合わせて 2√(xy)≦x+y≦6 とりあえずこのように相加・相乗平均の関係を用いましたが、 これ以上進みませんでした。 どなたか教えて下さい。

  • ３変数の基本対称式に関する不等式って？

    ２変数の基本対称式 u=x+y v=xy において、xとyが実数のとき、x,yを解とする方程式 0=(t-x)(t-y)=t^2-ux+v の判別式が０以上なので、 u^2-4v≧0 が成り立ちます。なおx,yが正のとき、この不等式は相加相乗平均の関係を意味します。 では３変数のときはどうなるのでしょうか？ u=x+y+z v=xy+yz+zx w=xyz において、xとyとzが実数のとき、x,y,zを解とする方程式 0=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-ux^2+vx-w において、３つの実数解をもつということは、２つの極値の積が負ということですが、そのときu,v,wの間にはどのような不等式が成り立つのでしょうか?

  • 不等式の証明

    (1)x≧0、y≧0のとき、つねに不等式 √（x+y)＋√y≧√（ｘ＋ay） が成り立つような正の定数aの最大値を求めよ (2)(1)aを用いて、x≧0、y≧0、z≧0のとき常に不等式 √（x+y+z)＋√（y+z)＋√z≧√（x+ay＋bz) が成り立つような正の定数bの最大値を求めよ これらの問題なのですが、 学校では不等式の証明は「２乗して引いて証明」と教わったのですが２乗してもうまくできません。０以上という条件から相加相乗というのを使うのかと思いましたが・・・でした。 教えていただければ助かります 宜しくお願いします

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する
質問する