式と証明

質問

x＞0、y＞0のとき、16y/x+9x/y≧ｍが成立するような「最大の整数」ｍの値は
ｍ＝□□である。ただし、等号が成立するのは、y＝□xのときである。

相加相乗平均を使って、16y/x+9x/y≧24
ｍ≦24の整数について、
つねに16y/x+9x/y≧24≧ｍが成り立つと書けるから、ｍの最大値は24

ｍは左辺の最小値として考えると解説にありましたが、どういう意味なのかわかりません。
それとなぜこれで最大値を求められるのですか。
24は16y/x+9x/yの最小値というのはわかるのですが・・・。

回答No.3

ticky · ベストアンサー

>16y/x+9x/y≧10　なんかも成立することがあると考えてもいいのでしょうか？

はい。右辺は、左辺以下であることをみたしているので、この式は正しいです。

16y/x+9x/y≧mを"みたす"整数は、
24、23、22、21、20....
とたくさんあるわけですが、その上で、この中から"最大"のものをもとめると、24になるのです。
（問題文では、「最大の整数」mといっています）

>16y/x+9x/yの最小値が、整数でないこともあり得えます。

たまたま、計算した結果、24が最小値で、整数だとわかったわけですが、もし、別の式で、計算した結果最小値が24.5とかの数字になったら、「最大の整数」mは、24になりますよね。
だから、16y/x+9x/yの最小値（これを仮にminimumとする）を求めて、minimum以下の最大の整数を求める必要があるのです。

お礼

とてもわかりやすいご回答をありがとうございます。
明確なお答えに感動です。
モヤモヤとしてた部分がわかるようになり、すっきり
しましたよ。
それでこの先にまだ問題が続くのですが、ここに
載せておりますので、
またよろしければお答えいただけないでしょうか。

回答No.2

KENZOU

相加相乗平均はa>0,b>0として
(a+b)/2≧√(ab)　　(1)
ですね。(1)不等式を成立させるだけのための右辺の数値としては√(ab)より小さい数値であれば別に何でもいいとなるわけですが、それらの無数にある数値の中で整数だけをを選ぶと√(ab)に一番近い整数がたくさんある整数の中で最大の整数となるわけです（←ややこしい話）。具体的にa=2、b=6を考えますと
(2+6)/2≧2√3　　　(2)
で2√3より小さい整数は3,2,・・・とあるわけでこれらの整数の中で3が最大の整数ということになります。
以上のことから問題のｍは「最大の整数」ということがお分かりいただけると思います。

＞ｍは左辺の最小値として考えると解説にありましたが、
＞どういう意味なのかわかりません
これは左辺がｍを含めてそれより大きい値ということですので、ｍは左辺の最小値と考えられますね。
おっとこの点は
＞24は16y/x+9x/yの最小値というのはわかるのですが・・・。
自らご解答されているようですね（笑い）。

お礼

ご回答をありがとうございます。
具体的な例も示していただいたのでおかげさまで
イメージすることができました。

回答No.1

ticky

相加相乗平均を使ったら、
16y/x+9x/y≧24
だとわかったわけです。

ですので、
16y/x+9x/y≧m
が成立するためには、

mが
24≧m
を満たしていることが必要です。
（成立していればよいのだから、24以下であれば、mはどんな整数であってもよい）

これは、最大値を求めているというよりも、最大値であることを説明しているのです。
（設問が「最大の整数」と書いているからですね。）

>ｍは左辺の最小値として考える
16y/x+9x/yの最小値が、整数でないこともあり得えます。
このために、16y/x+9x/yの最小値を求めて、それから、mを求めるわけですが、この手順のことを指していっているのだと思います。

補足

早速のご回答をありがとうございます。

単純な質問ですみません。

相加相乗平均より

16y/x+9x/y≧24 　となりますよね。

これは成立してますが、

例えばｍでの場合を考えたとき、(16y/x+9x/y≧24≧ｍ)
24以下の整数であればなんでも成立するというのなら、

16y/x+9x/y≧10　なんかも成立することがあると考えてもいいのでしょうか？

あと、
＞16y/x+9x/yの最小値が、整数でないこともあり得えます。
と考えるのはどうしてですか？