相加相乗平均について

質問

cosＱ＝１/２√３（２ｘ＋１/x)で、Ｑが最大になる時ｘの値は？(x>o)

考えたのですが、
Ｑが最大→cosQが最小です。

cosQが最小になる時を考える
ここで、相加相乗平均より
cosＱ＝１/２√３（２ｘ＋１/x)≧１/２√３×２√（２ｘ＋１/x)＝√６/3
等合成立のときは２ｘ＝１/x
x=1/√２

相加相乗平均って、どういうときにつかうのですか？
どんな問題の時にですか？
今回の式は二次関数でなくグラフ書いて判断無理なので、相加相乗でやるのですか？
よくわからないです。
あと、√６/3って、だす必要あるのですか？
あと、x=1/√２　ときに、最小値cosＱ＝√６/3
　という意味ですよね。
今回相加相乗でやるようにヒントもらったので、このようにやりました。

どなたか、混乱している私に教えてください。

回答No.4

htms42

ｘ＞０でのｙ＝２ｘ＋１／ｘ　　
の最小値を求める場合の話ですね。

グラフはｙ＝２ｘとｙ＝１／ｘの合成で求めることが出来ます。最小値がどの辺りにあるかの見当はつきます。
変形するとｘについての２次方程式です。
ｙの値を与えた時に対応するｘの値はいくらになるかということですから最小値は重根の場合に対応しています。
判別式＝０です。
ｙ＝２√２が得られます。

相加平均・相乗平均の関係を使ったのはａｘ＋ｂ／ｘの形になっているからです。ｘが消えてしまいます。
ａｘ＋ｂ／ｘ≧２√(ａｘ・ｂ／ｘ)＝２√(ａｂ)

どちらでやっても同じ結果になりますがかなり計算が楽になります。

回答No.3

naniwacchi

相加・相乗平均の関係は、ともに正の数である a, bに対して
(a+ b)/2 ≧ √(ab)
ということで、特に試験問題での使い方としては

・扱っている数が正の数で
・2x+ 3/xのや 2a+ 1/bように、xとその逆数 1/xや分数の和について最小値を考えるような場合

といった感じでしょうか？

最大・最小問題と言えば、 微分を使う方法もあります。
1/xの微分は数学IIIレベルになってしまうので、難しいかもしれません。

最後に、いまの問題についてですが、
＞あと、√６/3って、だす必要あるのですか？
必要あると思います。
cosＱ≦１ですので、もしこの値が１よりも大きいときは最大値は１にしかなりません。
そのための「ウラ」をとる必要があります。

＞あと、x=1/√２　ときに、最小値cosＱ＝√６/3という意味ですよね。
それでいいと思います。

回答No.2

ricardo_

No.1です。複利計算だったらと言う意味です。
　実際の計算ですと、１年毎に区切ってその間は直線的に変化するから、
半年で１．５倍と言う反論があるかも知れないけど。

回答No.1

ricardo_

利息が年１００％だったら、１年ごとに１，２，４，８と増えて行きますね。半年だったらルート２です。
　このように等比数列に関係する物の平均に相乗平均を使います。