相加相乗平均について教えてください

質問

相加相乗平均というものを習ったのですが、どういうものなのか、どういう時に使うものなのかが全く分かりません。

相加相乗平均というものを使っての最小値、最大値、等号の求め方の解説をなるたけわかりやすく教えていただけないのでしょうか？

それと一回解いた問題なのですが、授業でやったもので理解があまり出来ていなくて困っています。なぜこの下記の問題に相加相乗平均を使うのかが分かりません。下記の問題の解説もできればよろしくお願いします。

直角三角形に半径rの円が内接していて、三角形の３辺の長さの和と円の直径との和が２となっている。このとき以下の問いに答えよ。

１、この三角形の斜辺の長さをrで表せ。

２、rの値が問題の条件を満たしながら変化するとき、この三角形の面積の最大値を求めよ。

以上が問題となります。よろしければ、相加相乗平均を使う問題と使わない問題の見分け方を教えてください。

よろしくお願いします。

１の問題が[x＋y＝１-２r]、２の問題が[直角三角形のとき最大値１/８]という答えになるそうです。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

2つの正の数a,bが与えられたとき相加平均と相乗平均は以下によって与えられます。

相加平均＝(a+b)/2

相乗平均＝√(ab)

そして相加平均は相乗平均より以上であるという定理があります。つまり

(a+b)/2≧√(ab)　　　(1)

証明は簡単で

(√a-√b)^2≧0

を展開すれば自動的に出てきます。＝はa=bの時成立します。

以上はどんな教科書にも書いてあります。説明する方としても何をいまさらという感じしか残りません。

最大最小とどう結びつけるか、ということから実践的な話が始まります。

(1)は何を言っているかというと

a+bの最小値は2√(ab)

√(ab)の最大値は(a+b)/2

ということです。

後は実戦で痛い目にあいながら学んでいくのが王道です。

＞相加相乗平均を使う問題と使わない問題の見分け方を教えてください

暇なことを考えてないで本屋で問題集を１０冊ぐらい買って来ればいやというほど相加相乗平均を使う問題はあります。相加相乗平均を使う問題は相加相乗平均を使わないでも必ず解けます。

直角三角形に半径rの円が内接していて、三角形の３辺の長さの和と円の直径との和が２となっている。このとき以下の問いに答えよ。

１、この三角形の斜辺の長さをrで表せ。

２、rの値が問題の条件を満たしながら変化するとき、この三角形の面積の最大値を求めよ。

1.

∠Cを直角とする直角三角形ABCにおいてBC=a,CA=b,AB=cとする。ピタゴラスより

c^2=a^2+b^2 (2)

内接円の中心をOとすると三角形AOBの面積＝cr/2,三角形BOCの面積＝ar/2,三角形COAの面積＝br/2,

これらの和は⊿ABCの面積=ab/2に等しい。

つまり

(ar+br+cr)/2=ab/2

よって

a+b+c=ab/r (3)

問題の条件より

a+b+c+2r=2 (4)

(2)～(4)よりa,bを消去すればcとrの関係が得られる。

(4)より　a+b=2-2r-c (5)

(3)に代入して

ab=r(2-2r)=2r(1-r) (6)

(2)より

(a+b)^2-2ab=c^2

(5)，(6)を代入して

(2-2r-c)^2-4r(1-r)=c^2

整理して

c=1-2r (7)

2.これは大変トリッキーな問題です。

(5)、(6)を満たすa,bは解と係数の関係により

t^2-(2-2r-c)t+2r(1-r)=0

の解となっている。

(7)を代入して

t^2-t+2r(1-r)=0

実数条件より

D=1-8r(1-r)≧０

よって

r(1-r)≦1/8 (8)

三角形ABCの面積Sは(6)より

S=ab/2=r(1-r)

(8)より

S≦1/8

等号の成り立つのはD=0すなわち

r(1-r)≦1/8

r=(2-√2)/4

このときSは最大値1/8をとる。

以上において適宜相加相乗平均を使えばよいでしょうがかえって邪魔です。

問題は解かなければならない。手段は問わない。正しければよい。

お礼

相加平均と相乗平均、問題の解き方のご説明ありがとうございます。
大変お手間をおかけしました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

gohtraw

直角三角形を△ABC、その斜辺をCAだとします。
三平方の定理より
AB＾２＋BC＾２＝CA＾２
CAは（２－２ｒ－AB－BC)＝（２－２ｒ）－（AB+BC)と表すことができるので
AB^2＋BC^2＝（２－２ｒ）＾２－２（２－２ｒ）（AB+BC)＋AB^2＋BC^2＋２AB・BC
０＝（２－２ｒ）＾２－２（２－２ｒ）（AB+BC)＋２AB・BC　・・・（１）

半径ｒの円の中心をOとすると、△ABCは△OAB、OBC、OCAに分割でき、
これら三つの三角形の面積は
AB＊ｒ／２、BC＊ｒ／２、CA＊ｒ／２
と表されるので、△ABCの面積は
（AB＋BC＋CA）＊ｒ／２
と表すことができ、AB＋BC＋CA＝２－２ｒなので、△ABCの面積は
（２－２ｒ）＊ｒ／２　・・・（２）
と表すことができる。さらに△ABCの面積はAB＊BC／２でもあるので
（１）の中の２AB・BCは
２（２－２ｒ）＊ｒ
で置き換えることができる。よって（１）は
０＝（２－２ｒ）＾２－２（２－２ｒ）（AB+BC)＋２（２－２ｒ）＊ｒ
　＝２（２－２ｒ）－２（２－２ｒ）（AB+BC)
よって
（AB+BC)＝２（２－２ｒ）／２／（２－２ｒ）
　　　　　　＝1

従って
CA=２－２ｒ－（AB+BC)
　　＝２－２ｒ－1
　　＝１－２ｒ

△ABCの面積はＡＢ＊ＢＣ／２でＢＣ＝１－ＡＢなので、ＡＢ＝ｘとおいて
ｘ（１－ｘ）／２＝（－（ｘ－１／２）＾２＋１／４）／２
なので、ｘ＝１／２のとき、つまりＡＢ＝ＢＣのとき最大値１／８をとる。

相加平均、相乗平均は使わなくてもいいみたいです。

お礼

相加平均、相乗平均を使わなくても溶けたんですね(゜o゜;;
詳しいご説明ありがとうございました。

回答No.1

stomachman

「相加相乗平均」なんてものはありません。ちなみに「相加平均」と「相乗平均」ならあります。

　相加平均というのは普通の平均のことで、要するに足して2で割る。(a+b)/2をやる訳で、たとえば「5 cmのちびた鉛筆1本と 7cmのちびた鉛筆1本、平均すると6cm」っていう話です。
　相乗平均は、掛けて平方根を取る。「2倍してから8倍する、というのは、平均すると4倍を2度やったのと同じ」という時の「平均」であり、実生活では利率の計算ぐらいでしかお目にかかりません。√(ab) という計算ですけれども、対数を使えば
　(log(2) + log(8) )/2 = log(4)
という風に相加平均で計算できますから、相乗平均なんて無くても困らない。

　しかしながら、a, bが負でないとき、
　　(a+b)/2 ≧ √(ab)
という関係がある。この関係を数学の問題を解く際に色々応用するということがあります。（その場合、平均を計算することは目的ではない。単にこの関係式の格好に話を持ち込むことそれ自体が目的なんです。）で、この関係式を暗記し易くするために、「相乗平均は相加平均より大きくならない」と憶える。「相乗平均」という言葉の使いどころは、事実上、この呪文だけじゃないでしょうか。

お礼

詳しくありがとうございました。
色々知らない知識があり為になりました。