変数の関係に相加相乗平均を使っていいのか
- 相加相乗平均を使用して変数の関係を解析することは可能です。
- 相加相乗平均の関係式を使うと、変数を含む式を簡略化することができます。
- しかし、一部の問題では変数が残ることがあり、解析が困難になる場合もあります。
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変数の関係に相加相乗平均を使っていいのか
質問の意味が分かりかねるかもしれませんが、例えば x>0において、x+1/xの最小値を求めよ。 という問題は、相加相乗平均の関係より x+1/x≧2√x*(1/x)＝２ ゆえに最小値は２ というように、文字が消えます。 しかし、次の問題 x+y+z=π, x>0, y>0, z>0のとき、sinx*siny*sinzの最大値を求めよ という問題で、 相加相乗平均の関係より sinx*siny*sinz≦{sinx+siny+sinz/3}^3 … (A) 等号成立はsinx=siny=sinzより、x=y=z=π/3 ゆえに、最大値は(√3/2)^3＝3√3/8 というふうにやろうとしたのですが、 （A)の時点で変数が残っています。 このやり方は可能でしょうか？
- morogon
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(A)の右辺は、勿論、{(sinx+siny+sinz)/3}^3 ですよね。 {}付けているので、単なる内側の()忘れでしょうけど。 あ、ついでにいうと、「～しかねる」は、現代語では、原則、 自分の行動にしか使わない、別に謙譲語という訳ではなく、 ほとんど「遠回しなお断り」専用？^^化している言葉なので、 こういう使い方はしない方が無難です。 で、本題ですが、 勿論、sinx,siny,sinzが正、などを示した上の話ですよね。 原則としては、相加平均相乗平均の大小関係は、不等式の 片方が、定数になる、少なくとも、うまく組み合わせて、 定数にできるようでないと、非常に使いにくい代物ですが、 後の運用次第では、絶対いけないというものでもありません。 逆にいうと、できたとしても、そこらへんを示すのは、 結構大変だ、ということで、実際には、なかなかお目に かかれない、ということなのですが… この場合も、 sinx*siny*sinz≦{(sinx+siny+sinz)/3}^3 … (A) で、確かに、等号が成り立つ場合があることが 示せていますが(たまに、ちゃんと定数になる問題 でも、実は、等号が成立する場合がない、という こともあったりするので、そこも気をつけて)、 その前に、(A)の右辺は、等号が成り立つときより、 もっと大きな値をとるかもしれない、すると、 左辺は、右辺よりも小さいとは言え、等号成立の ときより、もっと大きい値をとる可能性が出てくる、 ということで、この線で示せるとしたら、例えば、 等号成立のとき、(A)の右辺が最大値をとることを 示す必要が出てきます。 こういう後の処理が、意外に簡単なこともありますが、 示せるけど大変、または、そもそも示せない(けれど、 全体としては、等号成立のときに、左辺が最大値をとる)、 最初から、等号成立のときに、左辺が最大なのが幻想、 と、色んな場合が出てくるので、普通は、そちらに持ち 込まない方が無難、ということになっている訳です。
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- mister_moonlight
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この問題に、相加平均・相乗平均が使えないのは ＃1の説明の通りなんだが、それが相加平均・相乗平均を使う時の盲点。 この問題は、z=π-(x+y)として、sinx*siny*sinzに代入し、x+y＝θ(0＜θ＜π)とすると 2Ｐ＝sinθ{cos(x-y)-cosθ}≦sinθ{1-cosθ}。 何故なら cos(x-y)≦1 そこで、sinθ{1-cosθ}の最大値を0＜θ＜πの条件で考える。 sinθ＞0、{1-cosθ}＞0から sinθ{1-cosθ}の2乗の最大値を考える。それには 微分だな。 続きの計算は 自分でやって。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
最後の「ゆえに、最大値は(√3/2)^3＝3√3/8」がなければ問題ないんだけどね.... この「等号成立」というのはつまり sinx*siny*sinz={(sinx+siny+sinz)/3}^3 を満たすということなんだけど, 右辺の sin x + sin y + sin z も変化するということを忘れちゃいけません. 右辺が定数なら確かに「等号が成り立つときに最大」といえるんだけど, 定数でない場合には「等号が成り立つから最大」とはいえませんよ. 大雑把にいうと: 絶対不等式 -x^2 + 2x ≦ x + 3/4 は x = 1/2 のとき等号が成り立ちます. では, -x^2 +2x は x = 1/2 のとき最大になりますか?
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