最小値の問題を相加・相乗平均を使って解きましたが、正解でしょうか？

質問

（問題）
x>0, y>0, z>0, x+y+z = 1 のとき、x^3 + y^3 + z^3 の最小値を求めよ。

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（私の解答）
x>0, y>0, z>0より、x^3>0, y^3>0, z^3>0 なので、相加・相乗平均の関係から、
x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3 * (x^3 * y^3 * z^3)^(1/3)
等号成立は、x^3 = y^3 = z^3 のときで、
x>0, y>0, z>0 だから、x = y = z
これと x+y+z = 1 より
x = y = z = 1/3
のとき、x^3 + y^3 + z^3 は最小となる。
すなわち、x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9
したがって、最小値は、1/9 ・・・（答）
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上記のように解きましたが、自信がありません。
正解か否かのご判定と、間違っている場合は、何が間違いかをご指摘いただければ幸いです。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3xyz が成立するのはよいとして、
等号成立時が左辺の最小値である保証はありません。

補足

ご回答ありがとうございます。

はじめは、ご回答の意味がよくわかりませんでしたが、take_5様のご説明を読み、また、自分でも愚考を重ねました結果、ようやく納得できました。

巷の参考書では、私のような解答が横行していますが、なにげに腑に落ちない感じがしましたので、質問させていただきました。

では、失礼いたします。

回答No.9

koko_u_

>巷の参考書では、私のような解答が横行していますが、
>なにげに腑に落ちない感じがしましたので、質問させていただきました。

巷の参考書がどうだかは知りませんが、その「腑に落ちない」感覚は重要です。大事にしましょう。

お礼

ご返答ありがとうございます。

私は趣味で高校数学を学び直しておりまして、分不相応とは思いますが、最終的には、アインシュタインの相対性理論を理解したいと思っております。
最近、「高校数学プラスアルファ」という本に、高校数学だけで波動方程式を導くことができる、という記述があることを聞き、勇気付けられています。

では、このへんで回答を締め切らせていただきます。

回答No.8

take_5

疲れるねぇ、これをlast　answerにしよう。

＞つぎのように解釈しましたが、よろしいのでしょうか？
＞「x^3 + y^3 + z^3が最小になるのは、3（3）√（xyz）＝1/9 のときではない。」

そのとおりだ。そして、君の解答のどこが間違いであるかは既に指摘してある。同じ質問をするな。

正しい解法については、既にＡＮＯ-4　で示しているだろう。

＞x＞0、y＞0、z＞0より、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz　‥‥(1)
＞又、 x＋y＋z≧3（3）√（xyz）より、1≧3（3）√（xyz）となるか＞ら、3xyz≦1/9　‥‥(2)　等号はx＝y＝z＝1/3。

何度も言うが、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz　で　3xyzが一定値ならそれが即ち最小値になる。
しかし、この問題では　3xyzは一定値ではないから、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz　の不等式から“だけ”では最小値は出せない。
ＡＮＯ-4　の私の解答を良く見なさい。

お礼

ありがとうございました。

回答No.7

take_5

君の解答が違ってる点を具体的に示そう。

君の論理で行くと、x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9であるから、3（3）√（xyz）＝1/9　即ち、xyz＝（1/27）＾3　‥‥(1)になる。
ところが、x ＝ y ＝ z であるから、(1)に代入すると、x ＝ y ＝ z ＝1/27となり、x+y+z ＝ 1　に反する。

私が最初のレスで
＞3項の相加平均・相乗平均の成立とx^3 + y^3 + z^3の最小値とは、この限りでは全く関係がない、という事。

と、書いた事が分るだろう？

補足

take_5様

再三再四ごていねいなご回答をいただきまして、深く感謝申し上げます。

つぎのように解釈しましたが、よろしいのでしょうか？

「x^3 + y^3 + z^3が最小になるのは、3（3）√（xyz）＝1/9 のときではない。」

お手数をおかけしますが、よろしくお願いいたします。

回答No.6

take_5

（私の解答）
x>0, y>0, z>0より、x^3>0, y^3>0, z^3>0 なので、相加・相乗平均の関係から、x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3 * (x^3 * y^3 * z^3)^(1/3)
等号成立は、x^3 = y^3 = z^3 のときで、x>0, y>0, z>0 だから、x = y = z

と、ここまでは何の問題もない。
しかし、“これと x+y+z = 1 より”とは、都合よく組み合わせたに過ぎない。
さっきも書いたが、ここで 積：xyz が一定値ならばx^3 + y^3 + z^3≧一定値となり、最小値が求められた。
例えば、xyz＝1ならば、等号成立は、x = y = z、つまりx＾3＝y＾3＝z＾3＝1の時。即ち、x＝y＝z＝1の時。

回答No.5

take_5

＞要は、「相加平均・相乗平均の関係とは、単なる不等式である」ということですね。

ちょつと違うね。
「相加平均・相乗平均の関係とは、単なる不等式である」‥‥これ自体は間違いではないが。
x＋y＋z≧3（3）√（xyz）において、左辺のx＋y＋zが一定値ならxyzの最大値が求まり、逆にxyzが一定値ならx＋y＋zの最小値が求められる。
従って、この問題ではxyzの値が一定値ではないから最小値ではない、という事。わかり難いかな？

回答No.4

take_5

相加平均・相乗平均でも解けるね。。。。うっかりしてた。。。笑

x＞0、y＞0、z＞0より、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz　‥‥(1)
又、 x＋y＋z≧3（3）√（xyz）より、1≧3（3）√（xyz）となるから、3xyz≦1/9　‥‥(2)　等号はx＝y＝z＝1/3。
(1)が常に成立するから、x^3 + y^3 + z^3は3xyzの最大値より大きければ良い。
即ち、(2)より、x^3 + y^3 + z^3≧1/9.　等号は、x＝y＝z＝1/3の時。

お礼

take_5様

再三にわたりご回答いただきまして、たいへんありがとうございます。

はじめは、おっしゃておられることが理解できなかったのですが、数日考えさせていただいて、ようやく納得できました。
要は、「相加平均・相乗平均の関係とは、単なる不等式である」ということですね。
この理解がまちがっていましたら、また、お教えいただければ幸いです。

回答No.3

take_5

あまりスマートではないが別解を示しておく。でも、こちらの方がorthodoxかな？

x、y、zについて平等から、0＜x＜1、0＜y＜1、0＜z＜1.
従って、y+z＝1-x、yz＝kとすると、yとzは　f（t）＝t＾2-（1-x）t＋k＝0の2つの実数解で、共に0＜t＜1にあるから、その条件を求めると、判別式≧0、f（0）＞1、f（0）＞0、0＜軸＜1である。
実際に計算して整理すると、0＜4k≦（1-x）＾2　‥‥(1)
Ｐ＝x^3 + y^3 + z^3 ＝x^3＋（y+z）*（y＾2-yz＋z＾2）＝3*（x-1）*k＋（3x＾2-3x＋1）‥‥(2)。
これは、0＜x＜1より傾きが負のkの1次関数から、(1)より4k＝（1-x）＾2　で最小。
よって(2)の最小値は、Ｐ＝4Ｆ＝g（x）＝3x＾3＋3x＾2-3x＋1であるからxについて微分するとg´（x）＝3（3x-1）*（x+1）＝0より　0＜x＜1で増減表を書くと、x＝1/3で極小かつ最小。この時(1)よりk＝1/9.
y+z＝1-x＝2/3、yz＝k＝1/9よりy＝z＝1/3.
又、Ｐ＝4Ｆ＝g（1/3）≧1/9。

回答No.2

take_5

質問者の解答の誤りは、3項の相加平均・相乗平均の成立とx^3 + y^3 + z^3の最小値とは、この限りでは全く関係がない、という事。

では、どのように解くべきか？

a、b、c、x、y、zについて、次の絶対不等式（シュワルツの不等式という）が成立する。
（a＾2＋b＾2＋c＾2）*（x＾2＋y＾2＋z＾2）≧（ax＋by＋cz）＾2、等号は　ay＝bx、bz＝cy、cx＝azの時。
この絶対不等式を2回使うと良い。

x＞0、y＞0、z＞0より、{（√x）＾2＋（√y）＾2＋（√z）＾2}{（√x＾3）＾2＋（√y＾3）＾2＋（√z＾3）＾2}≧（x＾2＋y＾2＋z＾2）＾2　。　何故なら、{（√x）}*{（√x＾3}＝x＾2　等による。
従って、（x＋y＋z）*（x＾3＋y＾3＋z＾3）≧（x＾2＋y＾2＋z＾2）＾2、つまり、（x＾3＋y＾3＋z＾3）≧（x＾2＋y＾2＋z＾2）＾2‥‥(1)
又、（1＾2＋1＾2＋1＾2）*（x＾2＋y＾2＋z＾2）≧（x＋y＋z）＾2　であるから、x＾2＋y＾2＋z＾2≧1/3　‥‥(2).
以上から、(1)と(2)より、x^3 + y^3 + z^3 ≧1/9　（等号はx＝y＝z＝1/3の時）