相加平均・相乗平均の問題

質問

問題集にあった問題です。
x二乗＋4y二乗＝4　のときxyの最大値と、
そのときのxとyの値を求めよ

【解答】（相加平均）≧（相乗平均）より
4＝x二乗＋4y二乗≧2√x二乗×4y二乗＝4｜xy｜

となっているのですが、なぜ　4｜xy｜　といった絶対値が出てくるのでしょうか？

私は
2≧√x二乗×4y二乗　
4≧x二乗×4y二乗
までしかわかりません。
最終的に答えはどうなるのでしょうか？
アドバイスお願いします。

回答No.4

mister_moonlight

ちょっと訂正。実は、-1≦k≦1となるんだが。

（誤）xy＝kとすると、x＝0の時、条件からk＝y＝0となり不適。
（正）xy＝kとすると、x＝0の時、k＝0となるが、この時は条件からy＝±1となり解の一部。

その他、xy平面上で　楕円：（x/2）＾2＋（y）＾2＝1と双曲線：xy＝kの関係を考えても良い。

回答No.3

mister_moonlight

相加平均・相乗平がを使える為の条件は、x＞0、y＞0である事。
この程度は、教科書に載ってるだろう。従って、この問題に相加平均・相乗平均を使うのは、“慣れない者”には不適当だろう。

（解法-1）

（x/2）＾2＋（y）＾2＝1よりx/2＝cosθ、y＝sinθ、つまり、x＝2cosθ、y＝sinθ　（0≦θ＜2π）とすると、xy＝2cosθ*sinθ＝sin（2θ）≦1.
等号は2θ＝π/2、5π/2　つまり、θ＝π/4、5π/4であるから、x＝±2cosπ/4＝±√2、y＝±sinπ/4　＝±1/√2。

（解法-2）

xy＝kとすると、x＝0の時、条件からk＝y＝0となり不適。
x≠0の時、y＝k/xを条件式に代入して整理すると、x＾2＝tとすると、t＞0で　t＾2-4t＋4k＾2＝0となる。
従って、この方程式が　t＞0の解を少なくても一つ持てば良いから、そのときのkの値の範囲を求めると良い。
しかし、2解の積＝4k＾2≧0、2解の和＝4＞0　であるから2解共に正。
従って、判別式≧0であればよいから、計算すると、k≦1.
この時、x＾2＝t＝2、xy＝1.　（以下、省略）

お礼

ありがとうございました

補足

難しくて理解できませんでした
先生に詳しく聞いてみようと思います

回答No.2

piro19820122

4 = x^2 + 4 y^2 ≧ 2√( x^2 * 4 y^2 ) = 2√((2xy)^2)
まではＯＫなのですよね？

ここで例えば √(2^2) と √((-2)^2) について考えてみてください。
前者は √4 = 2、後者は √4 = 2 になります。
このように、二乗して平方をとると、絶対値をとったのと同じことになります。

ですから √((2xy)^2) = |2xy| となるのです。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

zenigataf

xyが負の時、根号から取り出すことは、実数の範囲ではできないからです。

お礼

ありがとうございました