相加相乗平均を使う問題、使い方

質問

こんばんは、
微分法・積分法の問題を教えていただきたいです。
ある問題で、途中は省略しますが、
ａ＞0の定数とする。Ｓ＝4ａ/3＋64/3ａ　がａが正の値をとって変化するとき、Ｓはａ=4において、最小値32/3　をとる。
とありました。
解答には、ａ＞０より、相加平均≧相乗平均より、
4ａ/3＋64/3ａ≧2√4ａ/3×64/3ａ　すなわち、Ｓ≧32/3が成り立つ。

とありました。どうして、ここの場面で相加相乗平均を用いて、答えを出すのでしょうか？あと、いまだに、相加相乗をいつ用いたらよいのかが、わからなくて、困っています。
どなたか、教えてください。回答お待ちしています。

回答No.2

k_m__ · ベストアンサー

相加平均と相乗平均の不等式は，

条件 1. A，B が共に「負ではない数」（＝0 以上の数）であって，

条件 2. これらの積 AB が「定数」（＝変数を含まないただの数）になり，

条件 3. A=B という不等式の等号成立条件が成り立つことがあるとき，

A+B の最小値を求める場合に有効です。

ご質問の問題に適用してみましょう。
A=4a/3，B=64/(3a) のとき，a＞0 なので，A も B も「負ではない数」です。よって条件 1 をクリアしています。

そして，積は AB=256/9 となり，変数 a を含まない「定数」になります。
これで条件 2 もクリアしました。

最後に条件 3 ですが，相加平均と相乗平均の不等式の等号成立条件，
すなわち A=B が成り立つような変数 a の値があるかどうかを確認しましょう。
解答の通り，4a/3=64/(3a) を満たす正の数 a として，ちゃんと a=4 があります。

条件 1 については，相加平均と相乗平均の不等式を示すために必須の条件なので，これは絶対に外せません。

条件 2 は応用する際に必要な付加的な条件です。
この条件がないとどうなるか，次の例を考えてみましょう。
「x≧0 において，x^2+1 の最小値を求めよ。」
A=x^2，B=1 とおくと，条件 1 は満たされます。
よって，相加平均と相乗平均の不等式を適用することが出来ます。
その結果，x^2+1≧2√x^2=2x となります。
根号√を外すとき，x≧0 の仮定を用いました。
さて，不等式の等号成立条件から，A=B のとき，すなわち x^2=1 のとき，
これは x≧0 より x=1 を意味しますから，
「x=1 のとき，x^2+1 は最小値 1+1=2 をとる」という結論になります。
実は，x^2+1 の最小値は，x=0 のときの 1 なので，この結論は誤りです。
こういう事情で，応用の際には条件2が必要です。

お礼

丁寧にありがとうございました。
よくわかりました。これから、使ってみようと思います。
ありがとうございました！！

回答No.4

koko_u_

この問題に限っていえば、別段相加相乗平均を使う必要はなくて、
普通に変数 a の関数だと思って最小値を求めればよさそうですね。

お礼

そうですね、ありがとうございます！！

回答No.3

ency

確かに、相加平均相乗平均の使い方って、慣れないと難しいですね。

私の場合、こんな感じで使ってたかな。

・2項の和の「最小値」を求める。
・2項の積を求めると、文字を含まない数になる。

もちろん、各項が正であることは、大前提として上記2つを求める問題であれば、「相加平均相乗平均が使えるかな？」と疑ってみてました。
# 2項の和の「最大値」を求める問題には適用できないことに注意してください。
# どうして「最大値」だとダメなのか、相加平均相乗平均の式をよく確認してみてくださいね。

いずれにしろ、「必ず相加平均相乗平均を使わないと結果が求まらない」という問題は、少ないと思います。
「使ったほうが楽に求まる」という程度です。
今回の問題も、Sをaで微分して極小値(＝最小値)を求める問題に持っていっても普通に求まりますよね。
# 計算も、それほど複雑じゃないですし。。。

数学の場合、「なぜここでこれを使うの？」というのは、「解いていくと、たまたまそのパターンの形になったから、これを使ったんだけど。。。」ということが多いです。
これは、相加平均相乗平均の問題に限った話ではなく、大学入試で出題されるような問題全般にいえることです。
あとは、類題をできるだけ多く解いて、どれだけそのパターンを覚えられるか、というところでしょうか。

とりあえず、相加平均相乗平均については、上記の2つのポイントをヒントに、まずは「使えるかな？」と疑ってみるところからはじめてみてください。
そんな感じで問題を見ていくことで、「こんな場合も使えるかな？」というようなところまで見えてくるようになると思いますよ。

ご参考まで。。。

お礼

encyさんの、体験も教えていただいて、参考になりました。
この問題で、相加相乗については理解できたので、使ってみようと思います。助かりました。ありがとうございました

回答No.1

take_5

＞どうして、ここの場面で相加相乗平均を用いて、答えを出すのでしょうか？

変な質問するね。そうすれば簡単に正解が得られるからだよ。
ここで判別式か微分を使うつもり？

＞あと、いまだに、相加相乗をいつ用いたらよいのかが、わからなくて、困っています。

最小値を求める問題なら、条件は2つ。
(1)　与えられた文字が全て正であること。
(2)　それらの文字項の積が定数であること。この場合は、（4ａ/3）と（64/3ａ）を掛けると定数になる。

但し、不等式の証明で使うなら(1)であれば良い。
とは言っても、必ず上手くいくとは限らない。その判断には、“慣れ”が必要。

お礼

ありがとうございました！！