相加平均、相乗平均の関係

質問

ｘ＾２＋ｙ＾２＝２を満たす正の数ｘ、ｙに対して
２/（ｘ＾２）＋８/（ｙ＾２）の最小値と、そのときのｘ、ｙの値を求めよ。

この問題って明らかに相加平均、相乗平均の関係を使う問題ですよね？
それをつかって最小値が１０になったんですが回答には９となっていました
計算間違いとおもって１時間以上も計算しつづけたんですがやはり最小値が10にしかなりえません
この問題で相加平均、相乗平均の関係をもちいることは不可能なのでしょうか？それとも私の計算ミスでしょうか？

回答No.2

noname#47975 · ベストアンサー

２／ｘ＾２　＋　８／ｙ＾２　＝　ｋとおいて、
２ｙ＾２　＋　８ｘ＾２　＝　ｋｘ＾２ｙ＾２とし、
ｙ＾２　＝　２　－　ｘ＾２を代入すれば、
２（２－ｘ＾２）＋８ｘ＾２　＝　ｋｘ＾２（２－ｘ＾２）
４－２ｘ＾２　＋　８ｘ＾２　＝　２ｋｘ＾２ーｋｘ＾４

ｋｘ＾４　＋　（６－２ｋ）ｘ＾２　＋　４　＝　０を得ます。
ここで、ｙ＾２　＝　２　－ｘ＾２かつｘ、ｙは正の数より、
０　＜　ｘ＾２　＜　２となるようなｋの範囲を求めると
ｋ＝９が最小値になります。

後、相加平均・相乗平均の関係は気軽に用いてしまうと思わぬ落とし穴に
陥ります。下記のＵＲＬを参照して下さい。

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack2/a/kisokaku028.htm

回答No.1

kkkk2222

貴殿の解法は不明ですが、

（１／２）（ｘ＾２＋ｙ＾２）＝１

（１／２）［ｘ＾２＋ｙ＾２）（２/（ｘ＾２）＋８/（ｙ＾２）］
＝（１／２）［２＋２（ｙ＾２）/（ｘ＾２）＋８（ｘ＾２）/（ｙ＾２）＋８］

相加相乗部分は
２（ｙ＾２）/（ｘ＾２）＋８（ｘ＾２）/（ｙ＾２）≧２＊４

となりますが。