相加相乗を使ったときの疑問

質問

相加相乗平均の使い方で、よくわからない事があります。
例えば、
(X+[1/X])(X+[4/x])の最小値を求める問題があったとします。
これを、それぞれのかっこで相加相乗を使った場合と、
ばらしてから、相加相乗を使ったときとでは答えが変わって来ます。
もちろん、等号の成立不成立が後で関係してくることはわかりますが・・・・。
やり方としてはどちらも正解だと思うのですが、この疑問に答えられる人が
いましたら、よろしくお願いします。

回答No.1

thetas · ベストアンサー

それぞれのかっこで相加相乗を使った場合について述べます。

まず、
Ｘ＋[1/Ｘ]≧２　等号成立はＸ＝１
Ｘ＋[4/Ｘ]≧４　等号成立はＸ＝２
であることを確認しておきます。

ただ、Ｘ＋[1/Ｘ]＝２とＸ＋[4/Ｘ]＝４が同時におきるＸの値は存在しません。

なにしろ、
Ｘ＋[1/Ｘ]＝２となるのはＸ＝１
Ｘ＋[4/Ｘ]＝４となるのはＸ＝２
ですから、同時にイコールが成り立たないため、
(Ｘ＋[1/Ｘ])(Ｘ＋[4/Ｘ]＞２・４＝８
となります。

だから、この方法では最小値は不明としか、いえません。

お礼

ありがとうございました！
確かに不明となってしまいますよね！
もし時間にゆとりがありましたら、
他の質問に補足したのでそちらも覗いてみてください。

補足

そうですよね。
ただ、展開をして　X^2+[4/X^2]+5　にしたときに、
ここで相加相乗平均を使うと最小値がわかります。

ここで質問にある疑問が浮上するのです。
展開せずともかっこで相加相乗を使うのも正しい解き方（数学的に）だし、
はずしてから相加相乗を使うも正しい解き方（数学的に）です。
でも、最小値を求めるという問題だとしたら、後者でやらないと求まらないですよね？
そうしますと、前者の解き方は間違っているということ？
それが疑問なのです・・・。

回答No.6

oshiete_goo

#5さんのご指摘に関する補足
＞相加相乗平均の使い方で、
とあったので, X＞0が与えられている前提かと思っていましたが, もしそうでないとすると, 一般的には#5さんのご指摘のように, X<0の場合の考察も必要です.
(X=0は分母の条件より不適で除外されます.)

ただし f(x)=(x+1/x)(x+4/x) とおけば, f(-x)=f(x)より, 与式はxの偶関数なので, それを言った後でx>0に絞って考察すれば, 相加相乗平均の関係はそこでは(x>0の考察のときは)使えます. ただし,最終的に答えるときは,最小値○ (x=±□のとき)などと答えることになります.
また, これまでの回答で明らかなように, (x+1/x) と (x+4/x) のそれぞれの場合の積 という方針はもちろんうまくいきません.

回答No.5

ryumu

この場合、他の方達がおっしゃるように、各カッコ内での最小値が、同じｘの値で得られないので、数学的に間違った解法となります。
各カッコ内の最小値同士をかけるのは、独立している不等式のかけ算をしているだけになってしまいます。

似たような問題として、例えば、x^2 +x + [1/x]の最小値を求めようとして、”x + [1/x]”の部分だけに相加相乗平均を使っても意味がありません。x^2の最小値を与えるｘの値と、x + [1/x]の最小値を与えるｘの値が一致する保証がないからです。

また、brankeyさんの出されている問題では、もう一つ、重要な理由のために、各カッコ内だけで相加相乗平均の関係を使うことは出来ません。

相加相乗平均の関係は、負でない実数、α、βを用いて

　α+β≧２√（αβ）　ただし、α、β≧０

と表せますが、そもそもこの相加相乗平均の関係式は、「α、β≧０」の条件がなければ、導き出せません。

２つの数、α、βがあるとき、これが同じ数か、虚数を含むかどうかは、

　Ｄ＝（α-β）＾２　　・・・（＊）

を調べることで分かります（二次方程式で出てくる判別式と同じです）。

ここで、”α、βが必ず実数である”ことが分かっているなら、Ｄは０以上、すなわち

　Ｄ＝（α-β）＾２　≧　０　　・・・（＊）

が必ず成り立ちます。
（＊）を式変形すると、

（＊）　＜＝＞　（α+β）＾２- ４αβ　≧　０

　　　　＜＝＞　（α+β）＾２≧ ４αβ　　・・・（＊＊）

さらに、”α、βが０以上である”ことが分かっているなら、
（＊＊）の平方根を取ることが出来て（α、βが０以下では出来ない）、

（＊＊）　＜＝＞　α+β≧２√（αβ）　ただし、α、β≧０

という、相加相乗平均の関係が得られます。
つまり、この関係式が成り立つには、”二数が実数であり”、かつ”０以上”であることが必要なのです。

すると、brankeyさんの出された問題の条件ではｘが必ずしも正である必要はないので（ｘ＜０でも最小値が存在します。ｘ ＝＞　-ｘとしても式が同じですから）、カッコ内では相加相乗平均の関係が成り立つ保証がないのです。

一方、展開後の

与式＝(X+[1/X])(X+[4/x])＝ｘ＾２ + ４/（ｘ＾２） + ５

では、必ずｘ＾２≧０であることから、また、他に項にｘがないことから、相加相乗平均が使えます。

つまり、与式の最小値は、ｘ＝√２、または-√２の時に得られます。

回答No.4

tiezo-

＃１の方のとおりです
（ｘ＋１/ｘ）（ｘ＋４/ｘ）＝ｘ＾２＋４/ｘ＾２＋５
　　　　　　　　　　　　＞＝２√４＋５＝９
等号成立は、ｘ＝√２のときです
次に、ｘ＋１/ｘ＞＝２・・(1)
　　　ｘ＋４/ｘ＞＝４・・(2)はいいのですが
（ｘ＋１/ｘ）（ｘ＋４/ｘ）＞＝２*４＝８とならないのです
等号成立を考えるとはっきりします
(1)が成立するのは、ｘ＋１/ｘ＝２よりｘ＝１
(2)が成立するのは、ｘ＋４/ｘ＝４よりｘ＝２
（ｘ＋１/ｘ）（ｘ＋４/ｘ）＝８を解くと虚数解となります
後半の方法が成立するのは(1)(2)の等号成立が同時に成り立つときのみです

回答No.3

Mell-Lily

相加相乗平均の関係より、

(1)
x≧0,1/x≧0のとき、
　{x+(1/x)}/2≧√{x(1/x)}=√1=1.
ただし、等号は、
　x=1/x
　∴ x^2=1
　∴ x=1,
のとき成立する。

(2)
x≧0,4/x≧0のとき、
　{x+(4/x)}/2≧√{x(4/x)}=√4=2.
ただし、等号は、
　x=4/x
　∴ x^2=4
　∴ x=2,
のとき成立する。

この二つの命題は、”真”です。よって、

(3)
x≧0,1/x≧0,4/x≧0のとき、
　[{x+(1/x)}/2][{x+(4/x)}/2]
≧1×2=2.

この命題は、”真”です。しかし、等号は成り立ちません。

補足

とても参考になります。
もう少し言わせていただくと、この解法が正しいとして、（Xは正の数）
もし、最小値を求める問題だとしたら、これでこの解法でいいのでしょうか？

回答No.2

oshiete_goo

#1さんのご説明どおりです.

関連して言えば, Xが正のとき
(X+[1/X])^2 ＋(X+[4/x])^2 の最小値は
2^2+4^2=20 (もちろん誤答)というのと, 同じ罪です.
[正解は 2√34 +10]