相加平均、相乗平均を使う問題。。

質問

両端が放物線y=x^2の上にある線分ＡＢの中点をＰとする。
点Ａ、Ｂのx座標をそれぞれ、a,bとし、Ｐの座標を（p,q)とする。

（１）～（３）は問題のみ書きます。

（１）pおよびqを、aとbを用いて表せ。

（２）積abを、pとqを用いて表せ。

（３）線分ＡＢの長さが４であるときqをpの式で表せ

（４）線分ＡＢが長さを４に保って動くとき、qの最小値と、そのときのpの値を求めよ。

という相加平均・相乗平均の関係を使って答えを出す
問題なんですが、どうして、この関係を使って解くか
いまいちわかりません。教えてください！！
（４）のことです。

ちなみに答えは、

p^2+1/4>0であるから、相加・相乗平均の関係を用いて、

q=1/(p^2+1/4) +p^2+1/4-1/4 ≧2-1/4 =7/4

等号成立は、p^2+1/4=1つまりp=±√3/2のときである。
したがって、qの最小値は　7/4(p=±√3/2のとき）

です。よろしくお願いします。

回答No.1

postro

なぜ相加平均・相乗平均の関係を使うかの理由を一言で言えば、「便利で簡単だから」ってことです。
他の方法でできればそれでももちろん構わないわけです。
基本的な相加平均・相乗平均の関係は、a,b が両方正のとき　a+b≧2√ab 　等号成立は　a=b のときです（←重要）
（この証明はできますか？）
今回の場合　q=1/(p^2+1/4) +p^2　という関係がわかったのですね？
このときq最小値を求めるのに、この相加平均・相乗平均の関係はなんとも便利ではないですか。
他の方法・・・・微分して増減表を書く・・・・これもいいけれど、大分面倒なことになりそうですよね。