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相加相乗平均で

相加相乗平均で x>0のとき x+1/x+4x/(x^2+1)の最小値と最小値を与えるxの値を求めよ。 という問題が分かりません。 a=x+1/x、 b=4x/(x^2+1) とおいて相加相乗平均の公式に当てはめてみたのですがあってるでしょうか? ちなみに最小値は4です。 また、最小値を与えるxの値がどうしてもわかりません。 両辺にx(x^2+1)を掛けて計算しようとするとxの4乗の方程式になってしまって解けません。 数学の出来る方、解き方を教えてくださると嬉しいです。

noname#150458
noname#150458

みんなの回答

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.2

f(x)=x+1/x+4x/(x^2+1)=(x^2+1)/x+4x/(x^2+1) y=(x^2+1)/xとおくと f(x)=y+4/y 相加相乗平均の公式に当てはめてみると f(x)≧2√(y*4/y)=4 =が成り立つのは y=4/y y=2(x>0よりy=-2は適しない) よって y=(x^2+1)/x=2 つまり x=1

  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.1

(x^2+1)^2 = 4x^2 だから 和と差の積で因数分解できて終わり

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