相加・相乗平均の式について

質問

相加・相乗平均の式を使って
x>0のとき、x＋9/xの最小値を求める方法がわかりません。

式はa＋b≧2√(ab)を使うのですが、
使い方がよくわかりません。

お願いします

回答No.2

noname#13536 · ベストアンサー

そうですね。私は高校3年なのですが、大体、文系の問題で、最小値ときたときには、相加相乗を使うことが多いです。もちろん、二次関数の式にして、最大最小を出すことも多いですが。また、最小値を出して終わり、ではなく、
相加相乗を使って、範囲を出して、そこからまたそれを使って問題を解く、なんてものもあります。

確かに問題を解く時に、うっかり相加相乗を使うのを忘れてしまう時もありますね。分かります。
ただ、最小値を問われている問題で、二次関数の最大最小が使えなさそうな時は、相加相乗が当てはまる時が多いと思います。

回答No.3

kof-beginner

相加相乗平均の公式は不等式の証明や最大最小問題でよく使われます。

上の問題の場合はx > 0（整数）だとわかっているので一気に公式にあたるa = x , b = 9/x　だと思って公式を使うだけですね。

「細野数学の不等式の証明と最大最小問題がおもしろいほどわかる本」でいやというほど問題があるのでやってみてはどうでしょうか？

回答No.1

noname#13536

最初にお伺いしますが、xの分子は9だけですよね。
ｘ＋9が分子ではないですよね。
そういうことですすめていきます。
ｘをa、9/xをbと考えてみて下さい。

a+b≧2√abなのですから、そのaのところにｘを、bのところに9/ｘを入れてみてください。
すると、ｘ＋9/ｘ≧2√（ｘ・9/x)
となり、右辺は2√9つまり、6になります。

よって、ｘ＋9/x≧6となり、最小値は6となります。

補足

ありがとうございます。
式に代入すればいいんですね。
でも、どうしてこの問題で相加・相乗の平均の式を使うかわかるのでしょうか？

説明不足ですいません。