不等式の証明 相加平均 相乗平均

質問

ab>0のとき(a+1/b)(b+1/a)≧4を証明

この問題の解き方を教えてください。
相加平均相乗平均がいまいちわかってないので詳しくしてくれると助かります^^;

回答No.3

info33

相加平均と相乗平均の関係を使わなくても以下のように証明できますよ。

[証明]
(ab+1)^2-4ab=(ab-1)^2≧0 (等号はab=1のとき成立)
(ab+1)^2≧4ab
ab>0より　両辺をabで割って
(ab+1)(ab+1))/(ab)≧4
(ab+1)/b・(ab+1)/a≧4
∴(a+1/b)(b+1/a)≧4 (等号はab=1のとき成立)
[証明終わり]

回答No.2

asuncion

一部訂正。
＞A > 0, B > 0のとき、(A + B) / 2 ≧ √(AB)

A ≧ 0, B ≧ 0のとき、(A + B) / 2 ≧ √(AB)
等号成立はA = Bのとき。

回答No.1

asuncion

A > 0, B > 0のとき、(A + B) / 2 ≧ √(AB)

(a + 1/b)(b + 1/a)
= ab + 1/ab + 2 ... (1)
ここで、ab > 0より、1/ab > 0
よって相加平均・相乗平均の関係より、
(ab + 1/ab) / 2 ≧ √(ab・(1/ab)) = 1
よってab + 1/ab ≧ 2
したがって(1)式 ≧ 4
等号成立はab = 1/abより(ab)^2 = 1, ab = 1のとき