相加相乗平均を使った不等式の証明

質問

a,b,c,d≧0、のとき

(a+b+c+d)/4≧4√abcd　←(4√は4乗根です)

等号はa=b=c=dのとき

の証明で、相加相乗平均を使うと思うんですが、どぅやって使えばいいのかわかりません。

回答No.2

oobdoo · ベストアンサー

これは、4変数の相加相乗平均の不等式というものですね(一般のn変数で成り立ちます)。

(a+b)/2≧(ab)^(1/2) (等号成立:a=b)
これが、（2変数の）相加相乗平均の不等式でした。
相加相乗平均の不等式で、積を和に、和を積に変えることが出来るわけですから、まず4つの変数を2個ずつにわけて相加相乗平均を用い、2個に見なせるようにします。それで出来た2個に対してもう1度相加相乗平均の不等式を用いれば良いわけです。

(a+b+c+d)/4=(((a+b)/2)+((c+d)/2))/2
<aとb、cとd、それぞれについて相加相乗平均の不等式を用いて>
≧((ab)^(1/2)×(cd)^(1/2))^(1/2)
<(ab)^(1/2)と(cd)^(1/2)について相加相乗平均の不等式を用いて>
≧((ab)^(1/2)×(cd)^(1/2))^(1/2)
=(abcd)^1/4
となります。等号成立条件は2回使った相加相乗平均の不等式の等号成立条件の共通部分で、a=b=c=dとなります。

お礼

とてもわかりやすい説明だったので、理解することができました！！！
ありがとうございました☆彡

回答No.1

Tacosan

左辺を [(a+b)/2 + (c+d)/2]/2 と思ってみよう.