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不等式の証明(相加平均 相乗平均)
不等式の証明の問題で、 a>0 のとき 次の不等式を証明せよ ----------- a + 25/a ≧ 10 ----------- 回答は 相加平均相乗平均を使って、 a + 25/a ≧ 2√ a・25/a =2√25=10 が成り立つから、式は成立する、とあるのですが、これを 10を移行して a + 25/a -10 ≧ 0 とし、両辺にaをかけて a^2 -10a +25 = (a-5)^2 ≧0 としてはいけないのでしょうか？ a>0だから、両辺の大小は崩れないと考えたのですが・・・
- Aurorander
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質問者が選んだベストアンサー
解答の方向性は合ってます ＃２さんはa + 25/a ≧ 10を証明に用いてはいけないと仰ってますが a + 25/a ≧ 10 ⇔a + 25/a -10 ≧ 0 ⇔a^2 -10a +25 = (a-5)^2 ≧0 ∵a>0より両辺にaをかけても符号の向きは変わらない よって、(a-5)^2 ≧0が成り立てばa + 25/a ≧ 10を満たすことになり、また(a-5)^2 ≧0は成立するので、題意は示された みたいに書けば問題ないと思います
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- proto
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そうですね。アイデアとしては良いと思います。 しかし論法に重大な誤りがある。 ＞10を移行して ＞a + 25/a -10 ≧ 0 とし と書かれていますが、『a + 25/a ≧ 10』はこれから証明しようとしている式であり、現時点では未証明なのでこの式を証明に用いてはいけません。 これは誰もが犯しやすい間違いですので注意が必要です。 正しくは x = a+25/a-10 などと置いてからx≧0を証明し、そこから x = a+25/a-10 ≧ 0 より a+25/a ≧ 10 とすべきですね。 それ以外の部分は問題ないと思います。
お礼
詳しい回答をありがとうございました^^ >a + 25/a ≧ 10』はこれから証明しようとしている式であり、現時点では未証明なのでこの式を証明に用いてはいけません。 心得ました。
- gef00675
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その解答で、正解。 実際、そういう考えで、相加・相乗平均の不等式を導くことができる。
お礼
ご回答ありがとうございました！
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