不等式の証明(相加平均 相乗平均)

質問

不等式の証明の問題で、

a>0　のとき　次の不等式を証明せよ
-----------
a + 25/a ≧ 10
-----------
回答は　相加平均相乗平均を使って、

a + 25/a ≧ 2√ a・25/a =2√25=10　が成り立つから、式は成立する、とあるのですが、これを

10を移行して

a + 25/a -10 ≧ 0　とし、両辺にaをかけて

a^2 -10a +25 = (a-5)^2 ≧0

としてはいけないのでしょうか？ a>0だから、両辺の大小は崩れないと考えたのですが・・・

回答No.3

owata-www · ベストアンサー

解答の方向性は合ってます

＃２さんはa + 25/a ≧ 10を証明に用いてはいけないと仰ってますが

a + 25/a ≧ 10
⇔a + 25/a -10 ≧ 0
⇔a^2 -10a +25 = (a-5)^2 ≧0　∵a>0より両辺にaをかけても符号の向きは変わらない

よって、(a-5)^2 ≧0が成り立てばa + 25/a ≧ 10を満たすことになり、また(a-5)^2 ≧0は成立するので、題意は示された

みたいに書けば問題ないと思います

お礼

ご回答ありがとうございました！　やはり証明する式を変形するときは断らなければいけないのですね。

回答No.2

proto

そうですね。アイデアとしては良いと思います。
しかし論法に重大な誤りがある。

＞10を移行して
＞a + 25/a -10 ≧ 0　とし
と書かれていますが、『a + 25/a ≧ 10』はこれから証明しようとしている式であり、現時点では未証明なのでこの式を証明に用いてはいけません。
これは誰もが犯しやすい間違いですので注意が必要です。

正しくは
　　x = a+25/a-10
などと置いてからx≧0を証明し、そこから
　　x = a+25/a-10 ≧ 0
より
　　a+25/a ≧ 10
とすべきですね。
それ以外の部分は問題ないと思います。

お礼

詳しい回答をありがとうございました^^
>a + 25/a ≧ 10』はこれから証明しようとしている式であり、現時点では未証明なのでこの式を証明に用いてはいけません。
心得ました。

回答No.1

gef00675

その解答で、正解。
実際、そういう考えで、相加・相乗平均の不等式を導くことができる。

お礼

ご回答ありがとうございました！