相加相乗調和平均

質問

x>0,y>0のとき、相加相乗調和平均の関係を使って,xy/(x^2+4y^2) の最大値を求める問題の解き方がわかりません。
解説していただけませんか。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

相加相乗平均の関係より
√（２ｘｙ）＜＝（ｘ＋２ｙ）／２
両辺を二乗して
２ｘｙ＜＝（ｘ＾２＋４ｘｙ＋４ｙ＾２）／４
ｘ、ｙともに正なのでｘｙ＞０であり、両辺をｘｙで割っても不等号の向きは変わらないので
８＜＝（ｘ＾２＋４ｘｙ＋４ｙ＾２）／ｘｙ
　　＝（ｘ＾２＋４ｙ＾２）／ｘｙ＋４
よって
４＜＝（ｘ＾２＋４ｙ＾２）／ｘｙ
両辺の逆数をとると
１／４＞＝ｘｙ／（ｘ＾２＋４ｙ＾２）

お礼

お礼が遅くなりました。
詳しく解説していただいたのですが、どなたのも理解できませんでした。
参考書の解説と同じで難しすぎて役に立たないというと失礼だし、学力が低いんだから自己責任ですかね。
ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

ミスが起こり難く、安心感も高い方法：
問題の式を =A と置いた後、分母を払って
等式を x に関する二次方程式とみなす。
y が正実数という条件下に、正実数解 x があるような
A の範囲を求めれば ok.

相加相乗平均の関係を使うと、かなり広い範囲で
微分の使用を避けることができるが、
あまりに技巧的で感心しない解答例が
参考書などには載せてある。
素直に簡潔にを心掛けることを勧める。

お礼

お礼が遅くなりました。
解説してくださってありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

書き込みミス。

(誤)　x＞0から、Ｐ＝xy/(x^2+4y^2)＝(m)/(1+4m＾2)＝1/(m+4/m)より、m+4/mが最小のとき、Ｐは最大になる。
m＞0より　相加平均・相乗平均から、m+4/m≧4　→　Ｐ≦1/4　等号は、m＝4/m　つまり、y＝2x　の時。

(正)　x＞0から、Ｐ＝xy/(x^2+4y^2)＝(m)/(1+4m＾2)＝1/(4m+1/m)より、4m+1/mが最小のとき、Ｐは最大になる。
m＞0より　相加平均・相乗平均から、4m+1/m≧4　→　Ｐ≦1/4　等号は、4m＝1/m　つまり、2y＝x　の時。

お礼

お礼が遅くなりました。
解説してくださってありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

こんなのは、xとyの比だけが問題になるだけだから、y＝mx　(m＞0)とする。
x＞0から、Ｐ＝xy/(x^2+4y^2)＝(m)/(1+4m＾2)＝1/(m+4/m)より、m+4/mが最小のとき、Ｐは最大になる。
m＞0より　相加平均・相乗平均から、m+4/m≧4　→　Ｐ≦1/4　等号は、m＝4/m　つまり、y＝2x　の時。

お礼

お礼が遅くなりました。
解説してくださってありがとうございました。

回答No.2

spring135

1）少し不安の残る方法
要するに相加相乗平均の関係
x^2+4y^2≧2√(x^2・4y^2=4xyを使うわけです。
どの項も正なので
xy/(x^2+4y^2)≦xy/4xy=1/4
等号が成り立つとき、すなわち最大値をとるときは
x^2+4y^2=4xy
(x-2y)^2=0
つまりx=2y
条件はx>0,y>なので
これはx=2y>0で実現可能。

2）不安のない解答
Z=xy/(x^2+4y^2)として、1/Zを考えます。
1/Z=(x^2+4y^2)/xy=(x/y)+4(y/x)
x/y,y/xは正なので相加相乗平均の関係を使って
1/Z=(x/y)+4(y/x)≧2√(x/y)・4(y/x)＝4
1/Zの最小値は4よってZの最大値は1/4
これは
x/y＝4y/xのときすなわちｘ＝2ｙのとき成立。

お礼

お礼が遅くなりました。
解説してくださってありがとうございました。