・対数関数

質問

log3Ｘ＋log3Ｙ＝２を満たすとき(3は底です)、Ｘ^2＋４Ｙ^2の最小値を求めよ。また、そのときのＸ、Ｙの値を求めよ。
相加相乗平均を使うみたいなのですが、わからなくて…答えは最小値３６(Ｘ＝３√２、Ｙ＝３/２√２)です。答えの導き方を教えてください。お願いします。

回答No.2

hiroyonjp · ベストアンサー

log3 X+log3 Y=log3 9より
log3 XY=log3 9
XY=9

X^2+4Y^2>=2√X^2・4Y^2 = 4XY = 36

X^2=4Y^2なので
後は分かりますよね。

お礼

ありがとうございます！
理解できました(^O^)

回答No.1

photon90

log3X + log3Y = log3XY
2 = 2log3(3) = log3(9)
という関係を用いて、
XY = 9
がわかります。
この関係式を用いて
X^2 + 4Y^2
からX（あるいはY）を消去してから、相加相乗平均の関係を用います。
これで最小値とX,Yの値が示せます。

お礼

ありがとうございます！
理解できました(^O^)