指数関数

質問

関数
u=2＾(2x)＋2＾(-2x)＋2(2＾x＋2＾(-x)＋3があり
関数yの最小値を求める方法がわかりません。
2＾x>0,2＾-x>0とおくと
相加・相乗平均の式がつかえます

2＾x＋2＾-x=tとおくと
t=2＾x＋2＾-x≧2√(2＾x・2＾-x)=2
まではわかるのですがその後がわかりません。
もし宜しければ、分かる方で丁寧に教えてくれる人はいませんか？
お願いします。

回答No.5

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。

＞2＾x＋2＾-x=tとおくと
t=2＾x＋2＾-x≧2√(2＾x・2＾-x)=2
まではわかるのですがその後がわかりません。

相加平均・相乗平均を使うというのは、なかなかいいですよね。

＞2＾x=2＾(-x)と書いてあったのですが、
この後がわかりません
x=-x
2x=0よりx＝0
これはどこからどうやってでたものでしょうか？

等号成立条件が、なんでそうなるのかは、いいですか？

相加平均・相乗平均の公式から

(a+b)/2≧√(ab)
等号成立は、a=bのとき

ということでしたから、等号成立は、
2^x=2^(-x)
というわけですね。

さて、ここの指数（２の右肩の部分）だけ比べてみると、
等号成立となるのは、x=-xとなるときだけです。
つまり、x=-xからは、普通に方程式を解けばx=0となりますよね？

つまり、等号成立は、
2^x=2^(-x)=2^0=1
のときだけ、ということです。

＞x=-x
2x=0よりx＝0
の意味がわかりません。

ここは、指数だとかどうのと考えないで、もう普通に方程式解くだけです。

x=-x
両辺にxを加えて
2x=0
両辺２で割って
x=0
となるのですよね。

ちょっと難しく考えすぎてややこしくなっただけだと思いますよ。頑張ってください！

お礼

わかりました。
ありがとうございます。

回答No.4

rindaryu

補足に対してですが…

指数部分を比較しているだけです。
底が２のlogをとれば
ｘ＝－ｘ　になりますよね。
その後、右辺を左辺に移行して
２ｘ＝０
なだけです。

回答No.3

ONEONE

何が解らないのかわかりませんが
x = - xを満たすxは0しかありません。

x = -x
2x = 0　(両辺にxを足した)
x = 0　(両辺を2で割った)

回答No.2

ONEONE

相加相乗平均の関係は
(a + b)/2 ≧ √ab
ですね。
これで、等号が成立するのはa = bのときなのです。
（教科書にあるんじゃないかな？）

実際に代入してみれば
(a + a)/2 = a = 右辺
ですね。

ちなみに、相加相乗平均を用いて最大最小問題を解くときは、等号成立を言わないと使い物になりません。

補足

教科書見ましたがx=-x
2x=0よりx＝0
の意味がわかりません。もしご存知でしたおしえてくれませんか？

回答No.1

ONEONE

u = 2＾{2x} + 2^{-2x} + 2(2^{x} + 2^{-x}) + 3
かな？
2＾{2x} + 2^{-2x} = 2^{2x} + 2 + 2^{-2x} -2　（2を足して引いた）
　　　　　　　　　　 = (2^{x} + 2^{-x})^2 - 2
　　　　　　　　　　 = t^2 - 2
なので
u = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2 ≧ (2 + 1)^2 = 9

となります。

補足

参考書に
等号成立条件で
2＾x=2＾(-x)と書いてあったのですが、
この後がわかりません
x=-x
2x=0よりx＝0
これはどこからどうやってでたものでしょうか？
質問ばかりですいません。