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指数対数の問題です。
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そのまま、最後までやれ。 2の2x乗 と 2の3y乗 は、共に正数だから、 相加相乗平均の関係が使えて、 ((2の2x乗)+(2の3y乗))/2 ≧ √((2の2x乗)(2の3y乗)). 右辺 = √(2の(2x+3y)乗) = √(2の3乗) で、 等号成立は、2の2x乗 = 2の3y乗のとき。 すなわち、2x = 3y のときと判る。 2x+3y=3 と合わせると、等号は 2x = 3y = 3/2 のとき成立する。 以上より、最小値は = 2√(2の3乗) = 4√2 である。 方針は、正しい。 あと必要なものは、計算を続ける根気だけ。
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- 中村 拓男(@tknakamuri)
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いつものようにラグランジュの未定乗数法でやります(^^; f(x、y) = 4^x + 8^y, g(x, y) = 2x + 3y -3 h(x, y, λ) = f + λg とすると ∂h/∂x = 2log2・e^(2log2・x) + 2λ = 0 ∂h/∂y = 3log2・e^(3log2・y) + 3λ = 0 λを消去すると 2log2・x = 3log2・y ⇒ 2x = 3y ∂h/∂λ=g=2x-3y=0 と連立すると x=3/4, y= 1/2 f(x、y)は正で、上界を持たず、条件g においてこの点が唯一の停留点だから、 この点が極小かつ最小。 最小値は f(3/4, 1/2) = 2^(3/2) + 2^(3/2) = 2√(2) + 2√(2) = 4√(2) 以上です。
- mnakauye
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こんばんは。 あなたの考えている方向で良いと思いますよ。 >指数対数の問題です。 とは言い切れませんが・・・・・ >実数x,yが2x+3y=3を満たすとき、4^x+8^yの最小値とそのときのx,yを求めよ。 > >2^2x+2^3yに式変形したところでとまってます。 これに条件を代入すれば、2^2x+2^3y=2^2x+2^(3-2x) 2^2x=A とおけば、 A+8/A で明らかにA>0ですから、 >相加相乗をつかうのかなと思って考えましたが そのまま考えましょう。 >=2√(A*8/A)=4√(2) 等号成立は、A=8/A のとき 後は御自分で・・・・ がんばってください。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
そう思うならやってみたら?
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