対数の問題

質問

x≧2、y≧1/2、xy=8のとき、log2 x・log2 y　の最大値、最小値を求めよ。
という問題です。

解答は
x≧2、y≧1/2、xy=8から
log2 x + log2 y =3

このとき、log2 x・log2 y=log2 x(3-log2 x)=-(log2 x - 3/2)^2+9/4
log2 x=3/2 , x=y=2√2　のとき、最大値9/4
log2 x=4 , x=16 , y=1/2のとき最小値-4

と書いてありました。

疑問が2つあります。
まず1つ目
x≧2、y≧1/2、xy=8から
log2 x + log2 y =3
この式の変形はどうしたらこうなるのですか？
xy=8の式を両辺底2で対数を取ったのですか？
log2 xy=log2 8
これはできるのですか？
私が思うに
log2 2^xy =log2 2^8 　となると思うのですが・・・（間違えならすいません。）

2つ目
平方完成し頂点が(3/2 , 9/4)となっている。
どのようなグラフをかくのですか？
ｘじくはlog2 x軸となるのですか？
どうやったら最小値が出てくるのですか？

すいませんが、教えてください。

回答No.3

onigirikun · ベストアンサー

1) x≧2、y≧1/2、xy=8から
log2 x + log2 y =3
この式の変形はどうしたらこうなるのですか？

logの足し算はlogA + log B = log AB ですよね。これにあてはめただけです。教科書にも書かれていると思いますよ。logの基本的性質です。

だから　log x + log y = log (xy)
= log (8) (xy=8 だから)
　　　　　　　　　　　= log (2^3)
= 3 (底が2なので)

2) 平方完成し頂点が(3/2 , 9/4)となっている。
どのようなグラフをかくのですか？

一応お分かりかと思いますが、式の流れかいときますね。底は共通で2なので省略します。
　log x・log y = log x(3-log x)　(log x + log y=3より)
ここで見づらいので、log x = X とおきます。すると、上記の式は
　log x (3- log x) = X (3-X) となり、
これの最大最小を求めればいいだけです。
　X(3-X) = -X^2 +3X
= -(X^2 - 3X + 9/4) + 9/4
= -(X - 3/2)^2 +4/9
となります。
グラフは頂点(3/2, 4/9)で、上に凸の2次関数です。
自分でグラフは書いてくださいね。

x≧2、なので、
X = log x ≧ log 2 = 1 (対数の底は2)
ゆえに、X ≧ 1-----(1)

また、y≧1/2 xy=8 なので、
x = 8/y ≦ 16
よって、 X = log x ≦ log 16 = log 2^4 =4----(2)
(1)と(2)から
1≦ X ≦4 この範囲で最大最小を求めればいいです。

上に凸の関数なので最大値は頂点、最小値は頂点から一番離れた点(X=4のとき)です。

最大値　(X=) log x = 3/2 のとき 9/4.
このときのx, yの値は、
　　　log x = 3/2 から、x = 2^(3/2)
　y = 2^(3/2) (xy=8より)

最小値　(X=) log x = 4 のとき-4.
このときのx, yの値は、
　　　log x = 4 から、 x = 2^4 = 16
y = 1/2 (xy=8より)
となります。

見やすいようにX=log x とおきましたが、log x のままでも一緒です。

(補足)log は何乗するとこの数になるっていう何乗のほうをあらわしたものです。今回、底が2だったので、2を何乗するとxになるかを式で表したのが、
　log2 x　です。(2をlog2 x 乗すればxになる)

最小値のとき、これがイコール4だった(log2 x =4)ので、2を4乗すればxがわかる・・・16だ！となるわけです。

記号に振り回されずに、その記号の意味をちゃんと理解して勉強頑張ってください。

ちょっと、長くなってしまった。

回答No.4

shibainumodoki

解答と少し違うやり方でやってみます。
以下logの底2は省略して logxと書きます。

まず　x≧2、y≧1/2、xy=8　より　2≦x≦16 ,y=8/xですね。（y=8/x (x≧2、y≧1/2) のグラフを描けば分かります。）

logx・logy=logx・(log(8/x)) =logx・(log8-logx)
=3logx-(logx)^2　（log8=3より）
ここで　t=logx とおくと、2≦x≦16より 1≦t≦4
logx・logy=3t-t^2 (1≦t≦4)
f(t)=3t-t^2 とすると f(t)=-(t-3/2)^2 +9/4 (1≦t≦4)
　よってt=3/2 の時最大値　9/4
　　　　t=4　の時最小値　-4
tを xに戻して　
t=3/2 ⇔logx=3/2 より x=2√2 この時 xy=8 より y=2√2
t=4 ⇔logx=4 より x=16 この時 xy=8 より y=1/2

以上より 最大値 9/4 (x=y=2√2)、最小値 -4(x=16,y=1/2)

回答No.2

postro

まず1つ目
＞xy=8の式を両辺底2で対数を取ったのですか？
そのとおりです。そうすると
log2 xy=log2 8　になります。
log2 2^xy =log2 2^8 　は、何をやったかというと、両辺底2で対数を取ったのではなく、
log2 2　（つまり１）を掛け算しただけです。式としてまちがいではないが、意味のない変形ということです。

2つ目
x≧2、y≧1/2、xy=8から
2≦x≦16 が言えるのですが、それはOKですか？
つまり
1≦log2 x≦4 ということです。
＞ｘじくはlog2 x軸となるのですか？
そのとおりです。
X=log2 x とおいて　X軸と考えてもよいです。そのときのXの定義域は
1≦X≦4 となります。

回答No.1

chabbuu

log2 2^xy =log2 2^8 自体は成り立ちますがこれはxy=8と同値です。
xy=8から両辺底2で対数を取ると
log2 xy = log2 8
対数の性質からlog2 xy = log2 x + log2 yとなりますので
log2 x + log2 y =3　（∵log2 8 = log2 2^3 = 3)
となります。
その後はこの式を使ってlog2 x・log2 y=log2 x(3-log2 x)=-(log2 x - 3/2)^2+9/4とします。
x≧2よりlog2 x ≧ 1となり、あとはただの二次関数と同じです。t = log2 xとおけば分かりやすいと思います