二次関数の問題の考え方について教えてください

質問

一次関数ｙ＝-３ｘ＋１０のグラフが、ｘ軸、ｙ軸と交わる点をそれぞれＡ，Ｂとする。
点Ｐ（ｘ、ｙ）が線分ＡＢ上を移動する時、線分ＯＰの長さの最小値とその時の
点Ｐの座標を求めよ。と問題があります。

点ＰからＸ軸へ垂線ＰＨを引いてＯＰ＾２＝ＯＨ＾２＋ＰＨ＾２とすればよさそうなので
ＯＨをｘとしてｘ＾２＋（-３ｘ＋１０）＾２＝ＯＰ＾２と式を立て、この式を基本形にします。
１０（ｘ-３）＾２＋１０＝ＯＰ＾２となり下に凸いたグラフで頂点（３，１０）になります。

Ｘが３の時に最小となるのでＰＨ＾２の根号がＰＨで頂点３，１０の１０が√１０になり
ＯＰの最小の長さは√１０になります。この時のＰの座標はｘ＝３、ｙ＝-３ｘ＋１０に
ｘ＝３を代入してｙ＝１になります。

答えは、最小値√１０、Ｐ（３，１）となり合っているのですが考え方、解き方が
合っているのか教えてくださいお願いします。

回答No.1

matsu_jun · ベストアンサー

miiom1018 さん、こんにちわ

書かれている考え方で問題ありません。
ただし、グラフを書けば明らかではあるのですが、xの取りうる値の範囲を明示する必要があります。

今回の場合

「点Pが線分AB上を移動する」という条件があるので、xの取りうる値の範囲は、
最小値 x=0
最大値 y=0の時なので、x=10/3
すなわち 0≦x≦10/3 となります。

OP^2 をxの関数(OP^2 = 10(x-3)^2 + 10)とし、下に凸、頂点(3,10)まで導出できた時点で

「頂点となるxは、線分AB上でxの取りうる値 0≦x≦10/3 の範囲内にあるので、これを最小値とすることができる。」

という文言があると良いでしょう。

回答No.2

noname#152422

Pの座標が(x,y)と与えられているので、垂線を引いたりHを置いたりする説明が冗長なのですが、減点はされないでしょう。

> 根号がＰＨで頂点３，１０の１０が√１０になり

このへんの日本語の言い回しがアヤシイです。数学というより国語の問題。

考え方や方針はOKです。

「点Ｐ（ｘ、ｙ）が線分ＡＢ上を移動」と「点Ｐ（ｘ、ｙ）が直線ＡＢ上を移動」との違いを意識して、もし用心深く書くなら

0≦3≦10/3

と断っておけば安心かもしれません。無くても明らかですけどね。