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対数の問題です

関数f(x)=(log2x)^2+(logx2)^2-2a(log2x+logx2)+3がある。 (1)log2x+logx2=tとおくとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。 (2)f(x)の最小値をm(a)とするとき、m(a)の最大値を求めよ。 (1)からわかりません。log2x+logx2=tとおくとf(x)は2次関数になるのでグラフかいてみたり、相加相乗使ってみたりしてみましたがダメでした。 どのようにして解くのか教えてください。 ※log2xは2が底、logx2はxが底です。

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回答No.2

(1) t = log2x+logx2 =log2x+(1/log2x) となりあとは、adinatさんの書いてあるとおりで 答えは -2≧t,t≧2 となります。 (2) t^2 = (log2x)^2+(logx2)^2+2 より f(x)=t^2-2at+1 になります。よって、この2次関数の頂点は(a,1-a^2)となります。 あとは、-2≧a,-2≦a≦0,0≦a≦2,2≧a 場合分けして考えます。 -2≧aの時の最小値は、1-a^2 (t=aの時) →この時の最大値は、-3 (a=-2の時) -2≦a≦0の時の最小値は、5+4a (t=-2の時) →この時の最大値は、5 (a=0の時) 0≦a≦2の時の最小値は、5-4a (t=2の時) →この時の最大値は、5 (a=0の時) 2≧aの時の最小値は、1-a^2 (t=aの時) →この時の最大値は、-3(a=2の時) よって、(2)の答えはm(a)=5 (a=0)となる。

ngc1976ngc224
質問者

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  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)
回答No.1

高校生の問題ならばx>0は間違いないでしょう。 だって2を何乗したら-1になりますか? なんてわけわかりませんものね。 さらに高校流の定義だとx=1でもトラブルが起きますので、 x≠1も仮定しておきます。 厳密には対数の多価性も問題になってきますし。 もう少し議論を簡単にするためにy=log2xとおきます。 x>0とすればyはちょうど全実数を動きます。 そうするとlogx2=1/yであることから t=y+1/yの動く範囲を求めなさい、ということです。 これはグラフを描けばわかりますし、 例えばy>0の時は相加相乗平均からt≧2、 y<0の時はz=-yなんかとしてみてやはりt≦-2 を得ることからもわかります。 あとは親切な方がもしかすると教えてくださるかも 知れませんが、(2)は範囲つきの二次関数の最小問題です。

ngc1976ngc224
質問者

お礼

回答していただきありがとうございます >y<0の時はz=-yなんかとしてみてやはりt≦-2 を得ることからもわかります。 ここまでは考えが浮かびませんでした

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