対数関数

質問

考えてみても導き方がわからんかったので
少しでもわかる方は教えてください。
お願いします。
問題ー
正の数ｘ、ｙがｘｙ＝１００を満たす時、(log10X)三乗＋(log10Y)三乗の最小値とそのときのｘとｙの値を求めよ.
※(log10X)と(log10Ｙ)の１０は小さい１０です。

よろしくお願いします。

回答No.8

take_5

別解ならあるよ。。。。笑

ｘｙ＝100より両辺の常用対数（底が10の対数）をとるとlogx＋logy＝2より、logx＝a、logy＝bとすると、a＋b＝2の時a＾3＋b＾3の最小値を求める問題になる。

ここまでは前の解法と同じ。

a＋b＝2、a-b＝xとすると、2a＝x＋2、2b＝2-xから、ab＝（4－x＾2）/4.　aとbは全ての実数からxも全ての実数。
a＾3＋b＾3＝（a＋b）*（a＾2-ab＋b＾2）＝（a＋b）*{（a＋b）＾2-3ab}＝（3x＾2＋4）/2≧2.　等号はx＝0の時。
即ち、a＝1、b＝1の時であるから、x＝10、y＝10の時。

回答No.7

take_5

x＞1、y＞1ならばlogx＞0、logy＞0で相加平均・相乗平均は使えるが、そんな条件はどこにもない。

回答No.6

Mr_Holland

＃３さんのように考えることが基本だと思いますが、ここでは相加相乗平均を使った別解を一つ示します。

　xy＝100　より、　log_10(x)+log_10(y)＝log_10(100)＝2

　また、a^3+b^3＝(a+b)^3-3ab(a+b)より、
　{log_10(x)}^3＋{log_10(y)}^3
＝{log_10(x)＋log_10(y)}^3－3log_10(x)log_10(y){log_10(x)＋log_10(y)}
＝2^3－3×2log_10(x)log_10(y)　（∵　log_10(x)+log_10(y)＝2 )
＝8-6log_10(x)log_10(y)　　・・・・（Ａ）

　ところで、log_10(x), log_10(y)に対して相加相乗平均の関係を適用すると、次の関係が得られます。
　　log_10(x)+log_10(y)≧2√{log_10(x)log_10(y)}
　∴log_10(x)log_10(y)≦1　（∵　log_10(x)+log_10(y)＝2 )　・・・・（Ｂ）
　　　（等号成立は、log_10(x)＝log_10(y)のとき）

　従って、式（Ｂ）の関係を式（Ａ）に当てはめると次の関係が得られます。
　　{log_10(x)}^3＋{log_10(y)}^3
　＝8-6log_10(x)log_10(y)
　≧２　（等号成立は、log_10(x)＝log_10(y)　つまりx=y=10 のとき）

　以上のことから、{log_10(x)}^3＋{log_10(y)}^3の最小値は２で、そのときのｘとｙの値はともに１０であることが分かります。

回答No.5

take_5

いろんな方法が考えられるが。

ｘｙ＝100より両辺の常用対数（底が10の対数）をとるとlogx＋logy＝2より、logx＝a、logy＝bとすると、a＋b＝2の時a＾3＋b＾3の最小値を求める問題になる。

そこで、ab＝mとすると、a＋b＝2であるからaとbはt＾2-2t＋m＝0の2つの実数解であるから判別式≧0.　従って、m≦1　‥‥(1)
又、a＾3＋b＾3＝（a＋b）*（a＾2-ab＋b＾2）＝8-6m ‥‥(2)
(1)の範囲で(2)の最小値を考えると、(2)はmの1次関数で傾きが負であるから、m＝1で最小となる。
この時、最小値は2でそれを与えるのは　a＋b＝2、and、ab＝1である。
つまり、a＝b＝1であるから、x＝10、y＝10の時。

回答No.4

info22

log_10(X)=A
log_10(Y)=B
とおくと
xy=100は対数をとって
log_10(X)+log_10(Y)=2 となるので
A+B=2
(log_10(X))^3+(log_10(Y))^3=A^3+B^3
=(A+B){(A+B)^2-3AB}
=2(4-3AB)
=2{4-3A(2-A)}
=2(3A^2-6A+4)
=3(A-1)^2+2≧2
A=1で最小値2
このとき
B=2-A=1
log_10(X)=A=1
log_10(Y)=B=1
から
X=Y=10

回答No.3

R_Earl

XY = 100を変形したら、Y = 100 / X
これを(log10X)三乗 + (log10Y)三乗に代入すると

(log10X)三乗 + (log10Y)三乗
= (log10X)三乗 + { log10(100 / X) }三乗
= (log10X)三乗 + { log10(100) - log10X }三乗
= (log10X)三乗 + { 2 - log10X }三乗
= (log10X)三乗 + 8 - 12log10X + 6(log10X)二乗 - (log10X)三乗
= 8 - 12log10X + 6(log10X)二乗

log10X = tと置けば、この式は

8 - 12log10X + 6(log10X)二乗
= 8 -12t + 6(t二乗)
= 6(t二乗) - 12t + 8

となります。
このtの二次関数の最大・最小を考えてみましょう。

回答No.2

noname#75273

>> ANo.1
訂正　z = ( log [10] x )^3 + ( log [10] y )^3

回答No.1

noname#75273

xy = 100 の両辺に底10のlogをとると、
log [ 10 ] xy = log [10] 100
log [10] x + log [10] y = 2

z = log [10] x + log [10] y
t = log [10] x とおくと

z = t^3 + (2 - t)^3