対数関数

質問

この問題教えてください。
log(y)x－log(x)y＝8/3とxy＝16を同時に満たす正の実数x,yの組を求めよ。です

回答No.7

178-tall

ANo.5～6 への蛇足でも…。

>解は、
>　A = (8±10)/6 = 3 および -1/3

・A = 3 のケース
　LN(x)/LN(y) = 3　→　LN(x) = 3*LN(y)　→　x = y^3
　かつ xy = 16　→　y^4 = 16
　→　y = 2, x = 8

・A = -1/3 のケース
　LN(x)/LN(y) = -1/3　→　LN(x) = -(1/3)*LN(y)　→　x = y^(-1/3) = 1/y^(1/3)
　かつ xy = 16　→　y^2/3 = 16
　→　y = 64, x = 1/4

回答No.6

178-tall

錯誤を訂正。

つまり、はじめの算式は、
　A - B = A - (1/A) = 8/3
　→ A^2 - (8/3)A - 1 = 0
なる A の二次方程式と等価。
その解は、
　A = (8±10)/6 = 3 および -1/3
　　　↑
たとえば、ANo.2 さんのコメントに相当してます。

回答No.5

178-tall

>log(y)x－log(x)y＝8/3 と xy＝16 を同時に満たす正の実数 x, y の組を求めよ。

二つ算式のうち、はじめの算式、
>　log(y)x－log(x)y＝8/3
の log(y)x は「y を底とする x の対数」らしい。

…だとすれば、log(y)x = A とすると、
　x = y^A = e^{ A*LN(y) }
　→ LN(x) = A*LN(y)
　→ A = LN(x)/LN(y)
が成立。
( LN(y) は 「y の自然対数」。同様に log(x)y = B とすると、
　y = x^B = e^{ B*LN(x) }　→ B = LN(y)/LN(x) = 1/A )

つまり、はじめの算式は、
　A - B = A - (1/A) = 8/3
　→ A^2 - (8/3)A - 1 = 0
なる A の二次方程式と等価。
その解は、
　A = (8±10)/6 = 3 および 1/3
　　　↑
たとえば、ANo.2 さんのコメントに相当してます。

回答No.4

asuncion

＞(x,y)=(1/4,64)
xとyが逆ではないかな？

回答No.3

muturajcp

log(y)x-log(x)y=8/3…(1)
xy=16…(2)

(1)から
logx/logy-logy/logx=8/3…(3)

(2)の両辺のlogをとると
log(xy)=log16
logx+logy=4log2…(4)

X=logx
Y=logy
とすると
(3)から
X/Y-Y/X=8/3…(5)
(4)から
X+Y=4log2
↓両辺からXを引くと
Y=4log2-X…(6)

(5)の両辺に3XYをかけると
3X^2-3Y^2=8XY
↓両辺に3Y^2を加えると
3X^2=3Y^2+8XY
3X^2=Y(3Y+8X)
↓これに(6)を代入すると
3X^2=(4log2-X){3(4log2-X)+8X}
3X^2=(4log2-X)(12log2+5X)
3X^2=48(log2)^2+8Xlog2-5X^2
↓両辺に5X^2-8Xlog2-48(log2)^2を加えると
8X^2-8Xlog2-48(log2)^2=0
↓両辺を8で割ると
X^2-Xlog2-6(log2)^2=0
(X-3log2)(X+2log2)=0
(X-log8)(X+log4)=0
↓X=logxだから
(logx-log8){logx-log(1/4)}=0
logx=log8.又は.logx=log(1/4)
x=8.又は.x=1/4
x=8の時y=16/8=2
x=1/4の時y=16*4=64
∴
(x,y)=(8,2)
または
(x,y)=(1/4,64)

回答No.2

gamma1854

x, y はいずれも１でない正数とします。
log[y](x)=X とおくと第一式は、X - 1/X=8/3 ⇔ (3X+1)(X-3)=0,
となりX=-1/3 or 3 が得られ、それぞれの場合に、第二式を使って、
(x, y)=(1/4, 64), (8, 2).
を得ます。計算はご自身でしてください。

回答No.1

info33

> log(y)x－log(x)y＝8/3

・(y), (x) は対数の底ですか?
log(y)x－log(x)y＝8/3
xy=16 (x>0,y>0)
y=16/x
lnx/(ln16-lnx) -(ln16-lnx)/lnx=8/3
(lnx)^2-(ln16-lnx)^2-(8/3)lnx(ln16-lnx)=0
lnx/(ln16-lnx)=(4/3)+sqrt((4/3)^2+1)=4/3+5/3=3
lnx=3ln16-3lnx
lnx=(3/4)ln16=3ln2=ln8
∴x=8, y=2

・(y), (x) は対数の真数ですか?
xlogy -ylogx=8/3
xy=16
対数の底は? 10 or e
10の場合
log10((y^x)/(x^y))=8/3
(y^x)/(x^y)=10^(8/3)
(16/x)^x=(x^(16/x))*10^(8/3)
x=0.8264..., y=16/x=19.361...

eの場合
(y^x)/(x^y)=e^(8/3)
(16/x)^x=(x^(16/x))*e^(8/3)
x=1.0075..., y=16/x=15.880...