数学の問題で困ってます！

質問

(１)x^2+xy+y^2=1を満たす正の実数ｙが存在しないときのxの範囲をもとめよ。

(２)すべての実数yに対してx^2+xy+y^2>x+yが成り立つxの範囲を求めよ。

至急、どなたかお願いします！！

回答No.5

ma-cyan369

＃４の追記ですが、

ｆ(ｙ)＝ｙ^2＋ｘ・ｙ＋ｘ^2－１とおいて、ｆ(０)＞０・・・(Ｃ)とありますが、
ｆ(０)≧０の方がよいかもしれません。

回答No.4

ma-cyan369

x^2+xy+y^2=1のｘとｙは実数解を満たすのでしょうか？
問題集を確認してみて下さい。

(１)はもし、ｘ、ｙが実数でx^2+xy+y^2=1を満たすのであれば、問題の式をｙ^2＋ｘ・ｙ＋ｘ^2－１＝０とおいて、これをｙの２次方程式とみて、

判別式Ｄ＝ｘ^2－４（ｘ^2－１）＝－３ｘ^2＋４≧０・・・(Ａ)
軸の方程式ｙ＝－ｘ／２＜０-・・・(Ｂ)
ｆ(ｙ)＝ｙ^2＋ｘ・ｙ＋ｘ^2－１とおいて、ｆ(０)＞０・・・(Ｃ)
よって、(Ａ)～(Ｃ)の共通する範囲か答えです。

(２)はx^2+xy+y^2>x+yをｙの２次不等式として変形すると、ｙ^2＋ｘ・ｙ＋ｘ^2－ｘ－ｙ＞０より、
ｙ^2＋(ｘ－１)ｙ＋ｘ^2－ｘ＞０・・・(Ｄ)
(Ｄ)が常に成り立つ場合の条件を考えると、(Ｄ)の判別式Ｄ'＜０であるので、

Ｄ'＝(ｘ－１)^2－４(ｘ^2－ｘ)＝－３ｘ^2＋２ｘ＋１＜０を解くと求まります。

回答No.3

yyssaa

(１)x^2+xy+y^2=1を満たす正の実数ｙが存在しないときのxの範囲をもとめよ。
＞y^2+xy+x^2-1=0をyの二次方程式と考えて、その解が虚数か0以下の実数
となるxの範囲を求めればよい。
虚数:根の判別式:x^2-4(x^2-1)=4-3x^2＜0より4/3＜x^2、
x＜-2√3/3及び2√3/3＜x
0以下の実数：4-3x^2≧0すなわち-2√3/3≦x≦2√3/3で
y={-x±√(4-3x^2)}/2だから{-x+√(4-3x^2)}/2≦0よりx≦-1及び1≦x。
共通範囲をとって-2√3/3≦x≦-1及び1≦x≦2√3/3。
以上から求めるxの範囲はx≦-1及び1≦xすなわち1≦|x|・・・答
(２)すべての実数yに対してx^2+xy+y^2>x+yが成り立つxの範囲を求めよ。
f(y)=y^2+(x-1)y+x^2-xとおいてすべての実数yに対してf(y)＞0となる
のは、f(y)=0が虚数解をもつときであり、根の判別式＜0が条件。
よって、(x-1)^2-4(x^2-x)=-3x^2+2x+1＜0より3x^2-2x-1＞0。
3x^2-2x-1=0の解が-1/3及び1だからx＜-1/3及び1＜x・・・答

回答No.2

noname2727

計算間違えてました。

回答No.1

noname2727

（１）は図を描いて考えましょう。

（２）は式変形して
（yー（x－１）/2）^2+x-1>0
これが任意のyで成立するのでx＞1