数Iの問題

質問

連立方程式

x^2+xy+y^2=k+4
x^2-xy+y^2=3k+4

が実数解x,yを持つような実数kの範囲を求めよ。

回答No.1

info22_

x^2+xy+y^2=k+4　...(1)
x^2-xy+y^2=3k+4 ...(2)
これが実数解を持つとき
(1)-(2)より
2xy=-2k
xy=-k ...(3)
(1)+(2)より
2(x^2+y^2)=4(k+2)
x^2+y^2=2(k+2)
(x+y)^2-2xy=2(k+2)
(3)より
(x+y)^2+2k=2(k+2)
(x+y)^2=4
x+y=±2 ...(4)
(3),(4)に２次方程式の解と係数の関係を適用すれば
x,yは次のtの２次方程式の実数解として求まります。
t^2-(±2)t-k=0 ...(4)
tつまりx,yの実数条件から
　判別式D/4=1+k≧0
　∴k≧-1　←答え

このとき(4)の解から
　t=±1+√(1+k),±1-√(1+k)
この解がx,yであるから
　(x,y)=(1+√(1+k) ,1-√(1+k)),(1-√(1+k) ,1+√(1+k)),
　　　 ((-1+√(1+k) ,-1-√(1+k)),(-1-√(1+k) ,-1+√(1+k))
となります。
特にk=-1の時は重解となり
　(x,y)=(1,1),(-1,-1)
となります。