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指数対数
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x,y が自然数と決められていることが大切。 一本目の式から、A No.1 のように x,y の範囲が限定されるので、 その範囲の全ての (x,y) を両式に代入してみて 成立不成立を確認すればよい。 それで (1)(2) 同時に解決する。 整数問題特有の全数検査という考えかた。
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- banakona
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じゃあ私は（２）を担当。 2^x+3^y=43 をｘで微分すると ｌｎ２・２^x＋ｌｎ３・３^y・ｙ'＝０ ∴ｙ'＝－ｌｎ２・２^x／（ｌｎ３・３^y） ・・・(A） ここでlnｘはｘの自然対数。 ln２、ln３はプラス。ｘ、ｙが実数なら２^x、３^ｙは、プラスだから定義域全体でｙ'＜０ つまり定義域全体でｙは単調減少。 log2(x)-log3(y)=1 をｘで微分すると １／（ｘｌｎ２）-ｙ'／（ｙｌｎ３）＝０ ∴ｙ'＝ｙｌｎ３／（ｘｌｎ２） ln２、ln３は、プラス。 またｘ、ｙは真数だからｘもｙもプラス。 よって定義域全体でｙ'＞０ つまり定義域全体でｙは単調増加。 以上より２曲線 2^x+3^y=43 と log2(x)-log3(y)=1 は、交点（ｘ、ｙ）＝（４，３）の前後で互いにどんどん離れていく。 つまり（４，３）以外に交点を持たないことになり、この連立方程式を満たす正の実数x,yは(1)で求めた自然数の組以外に存在しない。
- spring135
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log2(x)-log3(y)=1 log2(x)=log3(y)+1=log(3)3y=u とおくと x=2^u 3y=3^u すなわち y=3^(u-1) 2^x+3^y=43へ代入 2^2^x+3^3^(u-1)=43 つまり 4^u+27^(u-1)=43 u=2 は上式を満たす。 つまり x=4, y=3 QED
お礼
解答ありがとうございます。
xを固定してｙを考えてみます 上の式からｙは１，２，３のどれかです （yが4以上だと３＾ｙの部分だけで43超えるから） 上の式にｙ＝１，２，３をあてはめて自然数ｘを探すと （ｘ、ｙ）＝（４，３）しかないはず これは下の式にも合います これをまともに書けば（２）もできるのでは
お礼
解答ありがとうございます。
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