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数III指数対数
xの方程式 a^x=log[a]x (0<a、a≠1) の実数解の個数をaの値によって分類したいのですが、 どなたか解説してもらえませんか。 [a]は底がaであることを表し、eは自然対数の底です。 よろしくお願いします。
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a^x=log[a]x ...(1) この方程式の左辺と右辺をそれぞれyとおいた２曲線 y=a^x ...(2) と y=log[a]x ...(3) が逆関数の関係にあることから互いに直線y=xに軸対称な曲線になります。 これらの２曲線はy=xに軸対称がゆえに交点が存在すればその交点は必ず 直線 y=x ...(4) 上にあり、直線上にない交点は存在しません。 従って、元の方程式(1)の解は 曲線(2)：y=a^x と 直線(4):y=x との交点と一致します。 なので、方程式式(1)の解は a^x=x ...(5) の解と一致します。 ここで(1)からxの真数条件から x>0 ...(6) この定義域で(5)から a=x^(1/x) ...(7) この右辺の関数 y=x^(1/x) (x>0) ...(8) は 0<x<eの範囲で単調増加 x=eで最大値（極大値）e^(1/e) をとり e<xの範囲で単調減少 x→+0の時y=x^(1/x)→0 x→+∞の時y=x^(1/x)→1(y=1が漸近線) という関数になります。 (8)とy=aの交点のx座標が方程式(7)の解であり、方程式(5)、即ち、方程式(1)の解でもあるから 0<a<1の時 交点は１個なので (1)の実数解は１個 1<a<e^(1/e)の時 交点は２個なので (1)の実数解は２個 a=e^(1/e)の時 交点は１個(重解)なので (1)の実数解は１個（重解） a>e^(1/e)の時 交点は存在しないので (1)の実数解は0個 となります。
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ありがとうございます！！！ 感動しました(*´∀｀*)