対数の問題

質問

高校の対数の問題がわからないので教えてください（答えまでなくても方針やヒントだけでも構いません。

(I)x^2+(log25)x+log(5/2)=0
の二つの解をα、βとする。(α＜β）底は10である。次の値を求めよ。
(1)α　(2)10^α＋10^β　(3)10^(αーβ)
(1)は二次方程式を解いてα=ー１を出しました。(2)(3)をどうやって求めればよいのかわかりません。。。

(II)自然数a,bについてa^(5/2)b^(3/2)の整数部分が６桁で、a^(3/2)b^(-5/2)は1より小さく、少数第6位にはじめて0でない数字が現れる数のときa,bの桁を求めよ。

これは
10^5<a^(5/2)b^(3/2)<10^6
10^(-6)<a^(3/2)b^(-5/2)<10^(-6)
としてそのあと全くわかりません。。。

(III)log(x^2+y^2-sin^2θ)>log(cos^2θ-x^2-y^2)
底はa
の表す領域が存在する時のθを求めこの領域の面積をθで表せ。
（0<=θ<π）

θの範囲は真数条件から0<=θ<π/4　3π/4<θ<πと出せました。でも面積がわかりません。。。

どれか一つでもよいのでヒントなり解答なり教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

回答No.6

sanori · ベストアンサー

度々お邪魔します。

（III）についてですが、
私は、ａ＞１　の場合についてだけ書きましたが、
ａが１より小さいと（０＜ａ＜１）、logを外したときの不等号の向きが逆になりますね。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。とてもわかりやすかったです!!

回答No.5

sanori

４度目。お邪魔します。
たぶん、Ｎｏ．３の回答は間違ってます。
（θの意味を勝手に解釈しているので）

回答No.4

Knotopolog

(I) だけを解いてみます．

x^2＋(log25)x＋log(5/2)＝0

x＝[－(log25)±√{(log25)^2－4log(5/2)}]/2

ここで，(ルートの中)を計算します．

(ルートの中)＝(log25)^2－4log(5/2)

ここで，log(5/2) を log(25/10) に変形します．すると，

log(5/2)＝log(25/10)＝log25－log10＝log(25)－1

なので，(ルートの中)は，

(ルートの中)＝(log25)^2－4[(log25)－1]＝(log25)^2－4(log25)＋4

(ルートの中)＝[(log25)－2]^2

となります．したがって，x は，

x＝[－(log25)±{(log25)－2}]/2

となり，α、βは，

α＝－1

β＝1－log25　　　　(β＝－0.3979400・・・)

です．したがって，α＜β を満たします．(1)，(2)，(3) は，次の通り．

●(1)　α＝－1

●(2)　10^α＋10^β＝1/2

(2)の計算：
10^α＋10^β＝10^(－1)＋10^(1－log25)＝10^(－1)＋10*10^(－log25)
＝10^(－1)＋10*(1/25)＝(1/10)＋(10/25)＝1/2

●(3)　10^(α－β)＝1/4

(3)の計算：
10^(α－β)＝10^{－1－(1－log25)}＝10^(－2＋log25)
＝10^(－2)*10^(log25)＝10^(－2)*25＝25/100＝1/4

となります．

お礼

わかりやすいご回答ありがとうございます。

回答No.3

sanori

３度目。（III）についてです。

計算してみましたが、たしかに、logの中身が正である条件から、
０　＜　θ　＜　π／４　　　・・・（あ）
または
３π／４　＜　θ　＜　π　　　・・・（い）
となりますね。

そして、もう一つ条件がありますね。

log（ｘ^2　＋　ｙ^2　－　sin^2θ）　＞　log（cos^2θ　－　ｘ^2　－　ｙ^2）
より
ｘ^2　＋　ｙ^2　－　sin^2θ　＞　cos^2θ　－　ｘ^2　－　ｙ^2
２（ｘ^2　＋　ｙ^2）　＞　cos^2θ　＋　sin^2θ　＝　１
ｘ^2　＋　ｙ^2　＞　１／２
これは、中心が原点、半径が　１／√２　の円の外側をどこまでも延々と塗りつぶしていくものですね。

だから、θの範囲がどんなに小さくても面積は無限？・・・私が間違えてる？（自信なし）

もしも不等号が
log（ｘ^2　＋　ｙ^2　－　sin^2θ）　＞　log（cos^2θ　－　ｘ^2　－　ｙ^2）
ではなく、
log（ｘ^2　＋　ｙ^2　－　sin^2θ）　＜　log（cos^2θ　－　ｘ^2　－　ｙ^2）
であれば、

ｘ^2　＋　ｙ^2　＜　１／２
これは、半径　１／√２　の円の内側を塗りつぶしたもの。
（あ）または（い）という制限を加えると、
Ｘ軸より上側の半円から、中心角９０度の左右対称な扇形を切り取った部分になります。

なお、
１つの投稿でたくさん質問されると、回答者が集まりにくいので、
まとめて質問する理由が特にない場合は、分けて投稿しましょうね。
間違った回答が来たとしても、誰もフォローしてくれない可能性が大です。

回答No.2

sanori

再びお邪魔します。
今度は、II だけ。

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１０^5　≦　ａ^(5/2)・ｂ^(3/2)　＜　１０^6　　・・・（あ）

１０^(-6)　≦　ａ^(3/2)・ｂ^(-5/2)　＜　１０^(-5)　　・・・（い）

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底が１０の対数をlogで表すことにして、
（あ）は、
log１０^5　≦　logａ^(5/2)　＋　logｂ^(3/2)　＜　log１０^6
５　≦　５／２・logａ　＋　３／２・logｂ　＜　６
１０　≦　５logａ　＋　３logｂ　＜　１２　　・・・（あ’）

（い）は、
log１０^(-6)　≦　logａ^(3/2)　＋　logｂ^(-5/2)　＜　１０^(-5)
－６　≦　３／２・logａ　－　５／２・logｂ　＜　－５
－１２　≦　３logａ　－　５logｂ　＜　－１０　　・・・（い’）

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（あ’）×５
５０　≦　２５logａ　＋　１５logｂ　＜　６０

（い’）×３
－３６　≦　９logａ　－　１５logｂ　＜　－３０

足して、
１４　≦　３４logａ ＜　３０
１４／３４　≦　logａ　＜　３０／３４

０．４　＜　logａ　＜　０．９

log１　＝　０
log１０　＝　１
なので、
log１　＜　logａ　＜　log１０
１　＜　ａ　＜　１０
よって、ａは１桁。

----------------------------------------

（あ’）×３
１５　≦　１５logａ　＋　９logｂ　＜　３６

（い’）×５
－６０　≦　１５logａ　－　２５logｂ　＜　－５０

差し引き
７５　≦　３４logｂ　＜　８６
７５／３４　≦　logｂ　＜　８６／３４

２．２　＜　logｂ　＜　２．６

log１００　＝　２
log１０００　＝　３
なので、
log１００　＜　logｂ　＜　log１０００
１００　＜　ｂ　＜　１０００
よって、ｂは３桁。

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どっか計算を間違えているかもしれないので、
信用しないで検算してください。

では。

回答No.1

sanori

こんばんは。
（Ｉ）だけお答えします。

（１）
log５　＝　log（１０／２）　＝　log１０　－　log２
　＝　１　－　log２

ｘ^2　＋　２log５・ｘ　＋　log５　－　log２　＝　０
ｘ^2　＋　２（１　－　log２）・ｘ　＋　（１　－　log２）　－　log２　＝　０
ｘ^2　＋　２（１　－　log２）・ｘ　＋　（１　－　２log２）　＝　０

解の公式を使って、
２ｘ　＝　－２（１　－　log２）　±　√（２^2・（１　－　log２）^2　－　４（１　－　２log２））
　＝　－２（１　－　log２）　±　２√（（１　－　log２）^2　－　（１　－　２log２））

ｘ　＝　－（１　－　log２）　±　√（（１　－　log２）^2　－　（１　－　２log２））
　＝　－（１　－　log２）　±　√（１　－　２log２　＋　（log２）^2　－　１　＋　２log２）
　＝　－（１　－　log２）　±　√（log２）^2
　＝　－（１　－　log２）　±　log２

α　＝　－（１　－　log２）　－　log２　＝　－１
β　＝　－（１　－　log２）　＋　log２　＝　－１＋２log２

（２）
１０^α　＋　１０^β　＝　１０^(-1)　＋　１０^(-1 + 2log2)
　＝　１０^(-1)　＋　１０^(-1)　×　１０^(2log2)
　＝　１０^(-1)　＋　１０^(-1)　×　（１０^log2）^2
　＝　１／１０　＋　１／１０　×　（１０^log2）^2
　＝　１／１０　＋　１／１０　×　２^2
　＝　１／１０　＋　４／１０
　＝　１／２

（３）
α　－　β　＝　　－１　－　（－１＋２log２）
　＝　－２log２

１０^(α-β)　＝　１０^(-2log2)　＝　１０^(-2)　×　１０^log2
　＝　１／１００　×　２
　＝　１／５０

ご参考に。