対数の問題がわかりません！

質問

S={(x,y) | x,yは整数、2+log10(6-x)(6+y)>=2log10(y-x+9)} (10はすべて対数の底)
とするとき、Sの要素の個数を求めよ。
という問題です。よろしくお願いします。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

nを１以上の整数とし、x=6-n、y=n-6　とすると、
100*(6-x)(6+y)-(y-x+9)^2
=100n^2-(2n-3)^2
=96n^2+12n-9＞0　（∵n≧1）

なので、Sの要素は無数に存在するのでは？

お礼

ありがとうございます。
自分なりに解いてみても、やはり答えが無限になってしまいます。
誤植がないか問い合わせてみるので、とりあえず回答を締め切らせていただきます。

回答No.4

naniwacchi

#2です。
少し間が開いてしまって、すみません。

なるだけ簡単にならないかと考えてみたのですが、
係数が大きいので難しいですね。
考えていたのは、X= 6- x, Y= 6+ yとおくと

100* X* Y= (X+ Y- 3)^2

という形になります。

たとえば、ここから左辺には 100= 10^2があることから、X+ Y- 3= 10mの形に表すことができ、
右辺に代入すると、X* Y= m^2となります。
X, Yは、tの 2次方程式：t^2-(10m+ 3)* t+ m^2= 0の 2つの整数解であることになります。
ときたところで、詰まってしまいました…

グラフを描かせてみると、#3さんの言われているように無限にありそうにも見えます。

すみません、いい方法が思いつきません。

回答No.2

naniwacchi

まずは、「条件」を整理しましょう。

対数の問題で、重要なのに忘れられがちな「真数条件」を忘れないうちに出しておきましょう。

(6- x)(6+ y)＞ 0 ・・・(1式)
y- x+ 9＞ 0 ・・・(2式)

(1式)は、場合分けが必要です。
これらの不等式より、点(x, y)の存在できる領域が絞り込まれます。

次に、「本題」となる条件です。

log{ 10^2* (6- x)(6+ y) }≧ log(y- x+ 9)^2
100* (6- x)(6+ y)≧ (y- x+ 9)^2

あとは、この式をどう変形するかがポイントになってきます。
少々やっかいな気はします。

補足

解説ありがとうございます。
やはりこの後の変形が、うまく因数分解ができず進みません…

回答No.1

Willyt

左辺＝log1000(6-x)(6+y)
右辺＝log100(y-x)^2
を使えば与式からlog を消せますね。そこから先は自力でどうぞ。