対数の連立方程式についておしえてください。

質問

１.
2^x+3y=4^y+2
log3√x+log3√y=1/2

2.
4(log10x)^2+2log10y=1
x^2・y＝10

１の問題のlogの対数は3で1/２の読み方は二分の一です。2問題のlogの対数は10です。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

１

指数の範囲を示すため( )を付けて示すこと

2^(x+3y)=4^(y+2) (1)

log3√x+log3√y=1/2　　　　　(2)

(1) より

2^(x+3y)=4^(y+2)=2^[2(y+2)]

ゆえに

x+3y=2x+4

x+y=4 (1)‘

(2) より

(1/2)log(3)x+(1/2)log(3)y=(1/2)log(3)xy=1/2

xy=3 (2)‘

(1)’、(2)’よりx,yは下記の２次方程式の解である。

t^2-4t+3=0

t=1,3

よって

(x,y)=(1,3)または(x,y)=(3,1)

2.

4(log10x)^2+2log10y=1 (1)

x^2・y＝10 (2)

(2)の両辺の対数をとると

2log(10)x+log(10)y=1

log(10)x=u, log(10)y=v (3)

とすると

2u+v=1 (2)’

(1)は

4u^2+2v=1 (1)’

(2)’より

v=1-2u

(1)’へ代入

4u^2+2(1-2u)=1

4u^2-4u+1=0

(u-1/2)^2=0

u=1/2（重解）

u=1/2のとき(2)’よりv=0

(3)より
X=√10, y=1